Упр.904 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что для всех хорд $$AB$$ данной окружности величина $$\frac{AB^2}{AD}$$, где $$AD$$ — расстояние от точки $$A$$ до касательной в точке $$B$$, имеет одно и то же значение.
2. Даны четырёхугольник $$MNPQ$$ и точка $$O$$. Что представляет собой данный четырёхугольник, если $$ON-OM=OP-OQ$$?

Рассмотрим векторы:

$$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MN},$$
$$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{QO}=\overrightarrow{QP}.$$

По условию

$$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ},$$

значит,

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}.$$

Следовательно, противоположные стороны $$MN$$ и $$QP$$ равны и параллельны. Значит, четырёхугольник $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Ответ: $$MNPQ$$ — параллелограмм.