Упр.903 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86).

Подробный ответ

Рассмотрим две прямые, пересекающиеся в точке $$M$$, и окружность, которая отсекает на них равные хорды. Обозначим точки пересечения одной прямой с окружностью через $$A$$ и $$B$$, а другой — через $$C$$ и $$D$$, причём $$AB=CD$$.

Проведём отрезки $$AC$$ и $$BD$$. Тогда точки $$A,B,C,D$$ лежат на одной окружности, поэтому равны вписанные углы, опирающиеся на равные хорды:

$$\angle CAB=\angle CDB,\qquad \angle ACD=\angle ABD.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle ACM$$ и $$\triangle DBM$$. У них:

$$AC=BD$$ — как равные хорды;
$$\angle ACM=\angle DBM$$ и $$\angle CAM=\angle BDM$$, так как точки $$M,A,B$$ лежат на одной прямой, а точки $$M,C,D$$ — на другой, и соответствующие углы равны как вписанные, опирающиеся на равные хорды.

Следовательно, $$\triangle ACM \cong \triangle DBM$$ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда

$$MA=MD,\qquad MC=MB.$$

Итак, расстояния от точки пересечения прямых до концов одной хорды равны соответствующим расстояниям до концов другой хорды.