Упр.903 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой. Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86).

Докажем сначала утверждение о хордах.

а) Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$M$$, а окружность отсекает на них хорды $$AB$$ и $$CD$$, причём $$AB=CD$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ACM$$ и $$\triangle DBM$$.

Так как точки $$A,B,C,D$$ лежат на одной окружности, то вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны. Поэтому

$$\angle CAB=\angle CDB,\qquad \angle ABD=\angle ACD.$$

Из этого следует, что

$$\angle CAM=\angle DBM,\qquad \angle ACM=\angle DMB,$$

а значит, треугольники $$\triangle ACM$$ и $$\triangle DBM$$ подобны. Тогда

$$\frac{MA}{MD}=\frac{AC}{DB}.$$

Но $$AC=DB$$, следовательно, $$MA=MD$$.

Аналогично из подобия треугольников $$\triangle AMB$$ и $$\triangle CMD$$ получаем

$$MC=MB.$$

Итак, расстояния от точки $$M$$ до концов одной хорды равны расстояниям от неё до концов другой хорды соответственно.

б) Если точка $$M$$ лежит вне окружности, то рассуждение проводится так же: из равенства хорд $$AB=CD$$ и равенства соответствующих вписанных углов получаем подобие треугольников, из которого следует

$$MA=MD,\qquad MB=MC.$$

Тем самым утверждение доказано для обоих случаев.

Теперь докажем основные свойства умножения вектора на число.

1. Для любых чисел $$k$$ и $$l$$ и любого вектора $$\vec a$$ верно

$$ (kl)\vec a=l(k\vec a). $$

Если $$\vec a=\vec 0$$, то равенство очевидно. Пусть $$\vec a\ne\vec 0$$. Тогда

$$|(kl)\vec a|=|kl|\,|\vec a|=|k|\,|l|\,|\vec a|=|k(l\vec a)|,$$

а направление векторов $$ (kl)\vec a $$ и $$ l(k\vec a) $$ совпадает при $$kl>0$$ и противоположно при $$kl<0$$. Значит,

$$ (kl)\vec a=l(k\vec a). $$

2. Для любых чисел $$k$$ и любых векторов $$\vec a$$ и $$\vec b$$ верно

$$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b.$$

Если $$k=0$$, то равенство очевидно. Пусть $$k\ne 0$$. Рассмотрим случай, когда $$\vec a$$ и $$\vec b$$ неколлинеарны. Отложим от точки $$O$$ векторы $$\overrightarrow{OA}=\vec a$$ и $$\overrightarrow{OB}=\vec b$$. Тогда

$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a.$$

Построим векторы $$k\vec a$$ и $$k\vec b$$. По правилу сложения векторов получаем, что сумма $$k\vec a+k\vec b$$ имеет ту же направленность и длину, что и $$k(\vec a+\vec b)$$, следовательно,

$$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b.$$

Если же $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны, то равенство доказывается аналогично, а в случае $$\vec a=\vec 0$$ или $$\vec b=\vec 0$$ оно очевидно.

3. Аналогично доказывается, что

$$ (k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a. $$

Если $$\vec a=\vec 0$$, то равенство очевидно. Пусть $$\vec a\ne\vec 0$$. Тогда векторы $$k\vec a$$ и $$l\vec a$$ коллинеарны вектору $$\vec a$$, поэтому их сумма также коллинеарна $$\vec a$$ и имеет длину

$$|(k+l)\vec a|=|k+l|\,|\vec a|=|k\vec a+l\vec a|.$$

Следовательно,

$$ (k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a. $$

Все основные свойства умножения вектора на число доказаны.