Упр.902 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины дуг $$AB$$ и $$AC$$ (рис. 271). Докажите, что $$AM=AN$$.
- Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?
Пусть $$H_1,\ H_2,\ H_3$$ — данные точки. Построим середины отрезков $$H_1H_2,\ H_2H_3,\ H_3H_1$$ и обозначим точку их пересечения через $$O$$.
Так как точка $$O$$ равноудалена от концов каждого из этих отрезков, то $$O$$ — центр окружности, проходящей через точки $$H_1,\ H_2,\ H_3$$. Построим окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OH_1$$.
Через точки $$H_1,\ H_2,\ H_3$$ проведём касательные к этой окружности. Тогда каждая из этих прямых будет перпендикулярна соответствующему радиусу, а значит, если взять их попарные пересечения, получим вершины искомого треугольника $$ABC$$.
Действительно, если $$H_1,\ H_2,\ H_3$$ — основания высот треугольника, то стороны треугольника являются касательными к окружности, описанной около треугольника $$H_1H_2H_3$$. Поэтому построенный треугольник имеет данные точки в качестве оснований высот.
Таких треугольников получается два: они симметричны относительно окружности, то есть соответствуют двум способам выбора трёх касательных, образующих треугольник.
Ответ
Построение: построить окружность через точки $$H_1,\ H_2,\ H_3$$, затем провести к ней касательные в этих точках; попарные пересечения касательных дадут вершины треугольника. Задача имеет $$2$$ решения.
