Упр.901 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая $$AC$$ — касательная к окружности с центром $$O_1$$, а прямая $$BD$$ — касательная к окружности с центром $$O_2$$ (рис. 270). Докажите, что: а) $$AD \parallel BC$$; б) $$AB^2=AD\cdot BC$$; в) $$BD^2:AC^2=AD:BC$$.
2. Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведённые из одной вершины.

Обозначим точки пересечения окружности с прямыми, содержащими высоту, биссектрису и медиану, как на рисунке. Построим треугольник по данным точкам.

1. Через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную $$BO$$. Точку её пересечения с окружностью обозначим через $$E$$.
2. Проведём прямую $$EM$$. На пересечении $$EM$$ и $$BO$$ отметим точку $$M_1$$.
3. Через точку $$M_1$$ проведём прямую, перпендикулярную $$OB$$. Точки её пересечения с окружностью обозначим через $$F$$ и $$D$$.

Тогда искомый треугольник — $$\triangle EFD$$.

Действительно, прямая через $$A$$ параллельна $$BO$$, значит она может быть высотой, так как высота перпендикулярна одной из сторон треугольника. Точка $$M$$ лежит на медиане, поэтому прямая $$EM$$ проходит через середину соответствующей хорды, а построение точки $$M_1$$ на $$BO$$ позволяет восстановить положение этой медианы. Прямая через $$M_1$$, перпендикулярная $$OB$$, задаёт биссектрису.

Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ

$$\triangle EFD$$.