Упр.901 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Прямая АС — касательная к окружности с центром О1, а прямая BD — касательная к окружности с центром О2 (рис. 270). Докажите, что: а) AD || ВС; б) АВ2 = AD x ВС; в) BD2 : АС2 = AD : ВС. Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки А, В и М, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведённые из одной вершины.

а) Рассмотрим углы между хордой и касательной:

$$\angle CAB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\angle ADB,$$

так как угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

Аналогично

$$\angle DBA=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\angle BCA.$$

Следовательно, $$\triangle DAB \sim \triangle ABC$$ по двум углам. Тогда

$$\angle DAB=\angle ABC.$$

Но точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной секущей, значит, равные накрест лежащие углы дают

$$AD \parallel BC.$$

б) Из подобия треугольников $$DAB$$ и $$ABC$$ получаем

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{AB}.$$

Отсюда

$$AB^2=AD\cdot BC.$$

в) Из подобия $$\triangle DAB \sim \triangle ABC$$ имеем также

$$\frac{BD}{AC}=\frac{AD}{AB} \quad \text{и} \quad \frac{BD}{AC}=\frac{AB}{BC}.$$

Тогда

$$\frac{BD^2}{AC^2}=\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BC}.$$

Следовательно,

$$BD^2:AC^2=AD:BC.$$

Построение треугольника по описанной окружности и точкам $$A, B, M$$, через которые проходят прямая высоты, биссектрисы и медианы, проведённых из одной вершины:

1. Через точку $$A$$ проводим прямую, параллельную $$BO$$; на пересечении с окружностью отмечаем точку $$E$$.
2. На пересечении прямой $$EM$$ и прямой $$BO$$ отмечаем точку $$M_1$$.
3. Через точку $$M_1$$ проводим прямую, перпендикулярную $$OB$$; на пересечении с окружностью отмечаем точки $$F$$ и $$D$$.

Искомый треугольник — $$\triangle EFD$$.

Ответ

$$AD \parallel BC,$$ $$AB^2=AD\cdot BC,$$ $$BD^2:AC^2=AD:BC.$$ Треугольник: $$\triangle EFD$$.