Упр.898 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вписанной окружности с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Жергонна).
2. Даны окружность с центром $$O$$, точка $$M$$ и отрезки $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$. Постройте прямую $$p$$ так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную $$P_1Q_1$$, и расстояние от точки $$M$$ до прямой $$p$$ равнялось $$P_2Q_2$$.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника $$ABC$$ через $$E$$, $$F$$ и $$G$$.

Тогда отрезки касательных, проведённых из одной вершины к окружности, равны:

$$AE=AG,\qquad BF=BG,\qquad CE=CF.$$

Рассмотрим произведение отношений:

$$\frac{AE}{CE}\cdot \frac{CF}{BF}\cdot \frac{BG}{AG} = \frac{AE\cdot CF\cdot BG}{CE\cdot BF\cdot AG} = \frac{AE\cdot CE\cdot BG}{CE\cdot BG\cdot AE} =1.$$

Следовательно, для треугольника $$ABC$$ и точек $$E,F,G$$ на его сторонах выполнено условие теоремы Чевы. Значит, прямые $$AF$$, $$CG$$ и $$BE$$ пересекаются в одной точке.

Эта точка называется точкой Жергонна.

Ответ: прямые $$AF$$, $$CG$$ и $$BE$$ пересекаются в одной точке.