Упр.897 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
2. Постройте общую касательную к двум данным окружностям.

Пусть биссектрисы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$O$$.

По теореме Ван-Обеля для треугольника $$ABC$$ имеем:

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AC_1}{BC_1}+\frac{AB_1}{CB_1}.$$

Так как $$CC_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то по теореме о биссектрисе:

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{AC}{BC}, \qquad \frac{AB_1}{CB_1}=\frac{AB}{BC}.$$

Подставим эти равенства в формулу Ван-Обеля:

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AC}{BC}+\frac{AB}{BC}=\frac{AB+AC}{BC}.$$

Следовательно, точка пересечения биссектрис делит биссектрису $$AA_1$$ в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.

Ответ

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AB+AC}{BC}.$$