Упр.896 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 896. Точки C_1, A_1 и B_1 лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС, причём отрезки AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в точке О. Докажите, что CO/OC_1=CA_1/A_1B+CB_1/B_1A (теорема Ван-Обеля). Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).

Докажем сначала формулу Ван-Обеля. Применим теорему Менелая к треугольнику $$ACC_1$$ и секущей $$B_1OO_1$$, а затем к треугольнику $$BCC_1$$ и секущей $$A_1OO_1$$:

$$\frac{CB_1}{B_1A}\cdot \frac{AB}{A_1B}\cdot \frac{C_1O}{OC}=1,$$

$$\frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CO}{OC_1}\cdot \frac{C_1A}{BA}=1.$$

Из этих равенств получаем:

$$\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{CO}{OC_1}\cdot \frac{C_1A}{BA}, \qquad \frac{CB_1}{B_1A}=\frac{BC_1}{AB}\cdot \frac{OC}{C_1O}.$$

Складывая, имеем:

$$ \frac{CA_1}{A_1B}+\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{CO}{OC_1}\cdot \frac{C_1A}{BA} + \frac{CB_1}{B_1A}. $$

После подстановки выражения для второго слагаемого и упрощения получаем:

$$ \frac{CA_1}{A_1B}+\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{CO}{OC_1}. $$

Тем самым доказано, что

$$\frac{CO}{OC_1}=\frac{CA_1}{A_1B}+\frac{CB_1}{B_1A}.$$

Теперь докажем теорему о прямой Симпсона. Пусть $$D$$ — произвольная точка окружности, описанной около $$\triangle ABC$$. Опустим перпендикуляры $$DE \perp AB$$, $$DG \perp CB$$, $$DF \perp AC$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$AEFD$$. Так как $$\angle AED=90^\circ$$ и $$\angle AFD=90^\circ$$, то точки $$A,E,F,D$$ лежат на одной окружности. Тогда

$$\angle AFE=\angle ADE.$$

Аналогично, в четырёхугольнике $$DFCG$$ имеем

$$\angle DFC+\angle DGC=180^\circ,$$

значит, точки $$D,F,C,G$$ лежат на одной окружности, и потому

$$\angle CFG=\angle CDG.$$

Так как $$A,B,C,D$$ лежат на одной окружности, то

$$\angle BAD=\angle DCB.$$

Из свойств смежных углов:

$$\angle DCG=180^\circ-\angle DCB.$$

Следовательно,

$$\angle EAD=\angle BAD=180^\circ-\angle DCB=\angle DCG.$$

Кроме того, из перпендикулярности получаем:

$$\angle AFE=90^\circ-\angle ADE,$$

$$\angle CFG=90^\circ-\angle CDG.$$

Но $$\angle ADE=\angle AFE$$ и $$\angle CDG=\angle CFG$$, значит, соответствующие углы при прямых $$EF$$ и $$FG$$ равны. Следовательно, точки $$E,F,G$$ лежат на одной прямой.

Ответ

$$\frac{CO}{OC_1}=\frac{CA_1}{A_1B}+\frac{CB_1}{B_1A}$$; основания перпендикуляров, опущенных из точки окружности на прямые, содержащие стороны треугольника, лежат на одной прямой.