Упр.895 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. На катетах $$AC$$ и $$BC$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ внешним образом построены квадраты $$ACFK$$ и $$BCDE$$, $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$. Докажите, что прямые $$CH$$, $$BK$$ и $$AE$$ пересекаются в одной точке.
Задание учебника 2023 года. Для неравностороннего треугольника $$ABC$$ точка $$O$$ является центром описанной окружности, $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$, точки $$A_2$$, $$B_2$$, $$C_2$$ — середины отрезков $$AH$$, $$BH$$, $$CH$$, а точки $$A_3$$, $$B_3$$, $$C_3$$ — середины сторон треугольника $$ABC$$. Докажите, что точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$, $$A_2$$, $$B_2$$, $$C_2$$, $$A_3$$, $$B_3$$, $$C_3$$ лежат на одной окружности (окружность Эйлера).

Подробный ответ

Обозначим $$AC=b,\quad BC=a.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем

$$\frac{BH}{HA}=\frac{BC^2}{AC^2}=\frac{a^2}{b^2}.$$

Рассмотрим треугольники $$AB_1K$$ и $$CB_1B.$$

Так как $$ACFK$$ и $$BCDE$$ — квадраты, то $$AK=AC=b$$ и $$CB=BC=a,$$ а также $$\angle AB_1K=\angle CB_1B$$ и $$\angle AKB_1=\angle CBB_1=90^\circ.$$ Следовательно,

$$\triangle AB_1K \sim \triangle CB_1B,$$

откуда

$$\frac{AB_1}{CB_1}=\frac{AK}{BC}=\frac{b}{a}.$$

Аналогично для треугольников $$A_1BE$$ и $$A C A_1$$ получаем

$$\triangle A_1BE \sim \triangle ACA_1,$$

значит

$$\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{AC}{BE}=\frac{b}{a}.$$

Теперь применим теорему Чевы к треугольнику $$ABC$$ для прямых $$CH,$$ $$BB_1$$ и $$AA_1$$:

$$\frac{AH}{HB}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1.$$

Подставим найденные отношения:

$$\frac{AH}{HB}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A} =\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1.$$

Следовательно, прямые $$CH,$$ $$BK$$ и $$AE$$ пересекаются в одной точке.