Упр.894 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Пусть точки $$C_1$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ или их продолжениях. Докажите, что если $$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$$, то прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.
- Докажите, что в любом треугольнике радиус $$R$$ описанной окружности, радиус $$r$$ вписанной окружности и расстояние $$d$$ между центрами этих окружностей связаны равенством $$d^2=R^2-2Rr$$.
Обозначим через $$M$$ центр вписанной окружности, а через $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Пусть $$d=OM$$, $$R$$ — радиус описанной окружности, $$r$$ — радиус вписанной окружности.
Проведём через точку $$M$$ диаметр $$PQ$$ описанной окружности. Тогда по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд для точки $$M$$ имеем
$$PM\cdot MQ=AM\cdot MA_1.$$
Так как $$PM=R+d$$ и $$MQ=R-d$$, то
$$(R+d)(R-d)=AM\cdot MA_1.$$
Поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle BMA_1=\frac{\angle BAA_1+\angle ABB_1}{2}=\frac{\angle A+\angle B}{2},$$
а значит треугольник $$MA_1B$$ равнобедренный, и потому
$$AM=BM_1.$$
Проведём диаметр $$A_1A_2$$ описанной окружности; пусть $$K$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AB$$. Тогда $$\triangle A_1A_2B$$ прямоугольный, так как опирается на диаметр, и $$\triangle AMK$$ тоже прямоугольный, поскольку $$MK\perp AB$$.
Кроме того,
$$\angle A_1A_2B=\angle MAK=\frac{1}{2}\angle BAA_1,$$
следовательно, $$\triangle A_1A_2B\sim \triangle AMK$$.
Из подобия получаем
$$\frac{MK}{BA_1}=\frac{AM}{A_1A_2}.$$
Так как $$MK=r$$, а $$A_1A_2=2R$$, то
$$r\cdot BA_1=AM\cdot 2R.$$
С другой стороны, из равенства $$AM=BM_1$$ и свойств биссектрис следует, что
$$AM\cdot BA_1=2Rr.$$
Тогда
$$(R+d)(R-d)=2Rr.$$
Раскрывая скобки, получаем
$$R^2-d^2=2Rr,$$
откуда
$$d^2=R^2-2Rr.$$
Ответ
$$d^2=R^2-2Rr.$$
