Упр.894 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 894. Пусть точки C_1, A_1 и B_1 лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС или их продолжениях. Докажите, что если AC_1/C_1B·BA_1/A_1C·CB_1/B_1A=1, то прямые AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в одной точке (теорема, обратная теореме Чевы). Докажите, что в любом треугольнике радиус R описанной окружности, радиус г вписанной окружности и расстояние d между центрами этих окружностей связаны равенством d2 = R2 — 2Rr (формула Эйлера).

Подробный ответ

1) Докажем теорему, обратную теореме Чевы.

Пусть на стороне $$AC$$ или её продолжении взята точка $$B_1$$ так, что прямая $$BB_1$$ пересекает сторону $$AC$$ в точке $$B_2$$. Тогда по теореме Чевы для треугольника $$ABC$$ имеем

$$ \frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1. $$

Так как по условию

$$ \frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1, $$

то, по обратной теореме Чевы, прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.

2) Докажем формулу Эйлера.

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности радиуса $$R$$, $$M$$ — центр вписанной окружности радиуса $$r$$, а $$d=OM$$.

Проведём через точку $$M$$ диаметр $$PQ$$ описанной окружности и биссектрисы $$AM$$ и $$BM$$. Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ точки пересечения прямой $$PQ$$ со сторонами $$AC$$ и $$BC$$ соответственно.

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд для окружности с центром $$O$$:

$$ PM\cdot MQ=AM\cdot MA_1. $$

Так как $$PM=R+d$$, $$MQ=R-d$$, то

$$ (R+d)(R-d)=AM\cdot MA_1. $$

Поскольку $$AM$$ и $$BM$$ — биссектрисы, то

$$ \angle BMA_1=\frac{\angle BMA_1+\angle AMB_1}{2}, $$

следовательно, треугольник $$MA_1B_1$$ равнобедренный, и потому

$$ AM=MB_1. $$

Рассмотрим треугольники $$A_1A_2B$$ и $$AMK$$, где $$K$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AB$$. Эти треугольники прямоугольные и имеют по одному равному острому углу, значит, они подобны. Отсюда

$$ \frac{MK}{BA_1}=\frac{AM}{A_1A_2}. $$

Так как $$MK=r$$, а $$A_1A_2=2R$$, получаем

$$ r\cdot BA_1=AM\cdot 2R. $$

С другой стороны, из равенства $$AM=MB_1$$ и свойств биссектрисы следует

$$ BA_1=2r. $$

Тогда

$$ AM\cdot BA_1=2Rr. $$

Подставляя это в равенство $$ (R+d)(R-d)=AM\cdot MA_1 $$, получаем

$$ (R+d)(R-d)=2Rr. $$

Следовательно,

$$ R^2-d^2=2Rr, $$

откуда