Упр.893 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть точки $$C_1$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ или их продолжениях. Докажите, что если прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке, то верно равенство:
$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$$
(теорема Чевы).
Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения прямых $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ через $$O$$.

Применим теорему Менелая к треугольнику $$ABB_1$$ и секущей $$C_1OC$$:

$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BO}{OB_1}\cdot \frac{B_1C}{CA}=1.$$

Применим теорему Менелая к треугольнику $$CBB_1$$ и секущей $$A_1OA$$:

$$\frac{AC}{AB_1}\cdot \frac{OB_1}{BO}\cdot \frac{A_1B}{CA_1}=1.$$

Перемножим полученные равенства:

$$\left(\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BO}{OB_1}\cdot \frac{B_1C}{CA}\right) \left(\frac{AC}{AB_1}\cdot \frac{OB_1}{BO}\cdot \frac{A_1B}{CA_1}\right)=1.$$

Сокращая одинаковые множители, получаем:

$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1.$$

Что и требовалось доказать.