Упр.890 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая $$m$$, не проходящая через вершины треугольника $$ABC$$, пересекает его стороны $$AB$$ и $$BC$$, а также продолжение стороны $$AC$$ соответственно в точках $$C_1$$, $$A_1$$ и $$B_1$$. Докажите, что верно равенство: $$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$$.
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

Подробный ответ

Пусть диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$E$$. Проведём диаметр $$AA’$$ описанной окружности.

Так как диагонали перпендикулярны, то $$AC \perp BD$$. Тогда треугольники $$ABE$$, $$BCE$$, $$CDE$$ и $$DAE$$ прямоугольные, и по теореме Пифагора:

$$AB^2=AE^2+BE^2,$$
$$BC^2=BE^2+CE^2,$$
$$CD^2=CE^2+DE^2,$$
$$AD^2=AE^2+DE^2.$$

Сложим первые и третьи равенства, а также вторые и четвёртые:

$$AB^2+CD^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2,$$
$$AD^2+BC^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2.$$

Следовательно,

$$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2.$$

Теперь докажем, что эта сумма равна квадрату диаметра описанной окружности. Рассмотрим треугольник $$ABA’$$. Он прямоугольный, так как опирается на диаметр $$AA’$$, поэтому

$$AA’^2=AB^2+BA’^2.$$

Осталось показать, что $$BA’=CD$$. Для этого рассмотрим треугольники $$DBC$$ и $$BDA’$$.

Имеем:

$$\angle DCB=\angle DBA’$$

как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$DB$$, и

$$\angle DBC=\angle BDA’$$

так как $$DB \perp AC$$, а точки $$A, C, A’$$ лежат на одной прямой. Значит, треугольники $$DBC$$ и $$BDA’$$ подобны, откуда

$$BA’=CD.$$

Тогда

$$AA’^2=AB^2+BA’^2=AB^2+CD^2.$$

С учётом уже доказанного равенства получаем:

$$AA’^2=AB^2+CD^2=AD^2+BC^2.$$