Упр.890 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 890. Прямая m, не проходящая через вершины треугольника АВС, пересекает его стороны АВ и ВС, а также продолжение стороны АС соответственно в точках C_1, A_1 и B_1. Докажите, что верно равенство: AC_1/C_1B·BA_1/A_1C·CB_1/B_1A=1 (теорема Менелая). Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

Подробный ответ

Обозначим через $$K$$ точку пересечения прямой $$m$$ с прямой, проходящей через вершину $$B$$ и параллельной стороне $$AC$$. Тогда $$BK \parallel AC$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle BC_1K$$ и $$\triangle AC_1B_1$$. У них

$$\angle BC_1K=\angle AC_1B_1,$$

так как эти углы образованы соответственно прямыми $$BC_1$$ и $$C_1K$$, $$AC_1$$ и $$C_1B_1$$, а также

$$\angle BKC_1=\angle AB_1C_1,$$

поскольку $$BK \parallel AC$$ и точки $$A,\,B_1,\,C$$ лежат на одной прямой. Значит,

$$\triangle BC_1K \sim \triangle AC_1B_1.$$

Отсюда

$$\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{AB_1}{KB}=\frac{C_1B_1}{KC}.$$

Аналогично рассмотрим треугольники $$\triangle BA_1K$$ и $$\triangle B_1A_1C$$. Имеем

$$\angle BA_1K=\angle B_1A_1C,$$

$$\angle BKC=\angle CB_1A_1,$$

следовательно,

$$\triangle BA_1K \sim \triangle B_1A_1C.$$

Тогда

$$\frac{CB_1}{KB}=\frac{A_1B_1}{KA_1}=\frac{CA_1}{BA_1}.$$

Из полученных равенств имеем

$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}$$

$$=\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}$$

$$=\frac{AB_1}{KB}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}$$

$$=\frac{AB_1}{KB}\cdot \frac{KB}{AB_1}=1.$$

Следовательно,

$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1.$$

Теперь докажем второе утверждение. Пусть в вписанном четырёхугольнике $$ABCD$$ диагонали $$AC$$ и $$BD$$ перпендикулярны, а $$O$$ — центр описанной окружности радиуса $$R$$. Проведём диаметр $$AA’$$.

Треугольники $$\triangle ABA’$$ и $$\triangle DAA’$$ прямоугольные, так как опираются на диаметр. Кроме того, из перпендикулярности диагоналей следует, что

$$\angle DBA’ = 90^\circ-\angle ABD = \angle ACD = \angle CDB.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle DBC$$ и $$\triangle BDA’$$. У них

$$\angle DCB=\angle BA’D,$$

так как они опираются на одну и ту же дугу $$DB$$, и

$$\angle CDB=\angle DBA’.$$

Значит, $$\triangle DBC \sim \triangle BDA’$$, откуда

$$BA’=CD.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABA’$$ по теореме Пифагора получаем

$$AA’^2=AB^2+BA’^2=AB^2+CD^2.$$

Но $$AA’=2R$$, поэтому

$$AB^2+CD^2=(2R)^2.$$

Аналогично, меняя местами стороны, получаем