Упр.89 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой. С помощью транспортира и масштабной линейки начертите треугольник ABC, в котором: а) АВ = 4,3 см, АС = 2,3 см, уголA = 23°; б) ВС = 9 см, ВА = 6,2 см, уголB = 122°; в) СА = 3см, СВ = 4 см, уголC = 90°.

Подробный ответ

Обозначим $$\angle EBC=x$$. Так как луч $$BE$$ — биссектриса угла $$CBD$$, то

$$\angle EBD=\angle EBC=x,$$

а значит

$$\angle CBD=2x.$$

Пусть луч $$BN$$ — биссектриса угла $$ABC$$. Тогда

$$\angle ABN=\angle NBC.$$

По условию биссектрисы углов $$ABC$$ и $$CBD$$ перпендикулярны, значит

$$\angle EBN=90^\circ.$$

Но

$$\angle EBN=\angle EBC+\angle CBN,$$

следовательно, если $$\angle EBC=x,$$ то

$$\angle CBN=90^\circ-x.$$

Так как $$BN$$ — биссектриса угла $$ABC$$, то

$$\angle ABC=2\angle ABN=2(90^\circ-x).$$

Тогда

$$\angle ABD=\angle ABC+\angle CBD=2(90^\circ-x)+2x=180^\circ.$$

Значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$D$$ лежат на одной прямой.

Для построения треугольников выполняем следующее.

Проводим произвольную прямую и откладываем на ней отрезок $$AB$$ нужной длины.
С помощью транспортира строим при вершине $$A$$, $$B$$ или $$C$$ заданный угол.
На соответствующем луче откладываем заданную длину второй стороны.
Соединяем полученную точку с третьей вершиной.

а) Строим отрезок $$AB=4{,}3$$ см. В точке $$A$$ откладываем угол $$23^\circ$$ и на его луче отмечаем точку $$C$$ так, чтобы $$AC=2{,}3$$ см. Соединяем $$C$$ с $$B$$.

б) Строим отрезок $$BA=6{,}2$$ см. В точке $$B$$ откладываем угол $$122^\circ$$ и на его луче отмечаем точку $$C$$ так, чтобы $$BC=9$$ см. Соединяем $$C$$ с $$A$$.

в) Строим прямой угол $$\angle C=90^\circ$$. На одном его луче откладываем $$CA=3$$ см, на другом — $$CB=4$$ см. Соединяем $$A$$ и $$B$$.