Упр.889 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

• Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.
• Произвольная точка $$X$$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $$ABC$$, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков $$AX$$, $$BX$$ и $$CX$$ равен сумме двух других отрезков.

Пусть $$MNPQ$$ — квадрат, а $$AC:BD=m:n$$ и $$S_{ABCD}=S_{MNPQ}$$.

Для квадрата со стороной $$a$$ имеем $$S_{MNPQ}=a^2$$, а для ромба через диагонали:

$$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD.$$

Так как площади равны, то

$$\frac12 AC\cdot BD=a^2,$$

откуда

$$AC\cdot BD=2a^2.$$

По условию

$$\frac{AC}{BD}=\frac{m}{n}.$$

Обозначим $$AC=mx$$, $$BD=nx$$. Тогда

$$AC\cdot BD=mnx^2=2a^2,$$

следовательно,

$$x=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{mn}}.$$

Значит, диагонали ромба должны быть равны

$$AC=m\cdot \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{mn}}=a\sqrt{\frac{2m}{n}},$$

$$BD=n\cdot \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{mn}}=a\sqrt{\frac{2n}{m}}.$$

Построение:

1. Построить квадрат со стороной $$a$$.
2. Построить отрезки длиной $$AC=a\sqrt{\frac{2m}{n}}$$ и $$BD=a\sqrt{\frac{2n}{m}}$$.
3. Провести две взаимно перпендикулярные диагонали этих длин, делящие друг друга пополам.
4. Соединить их концы — получится искомый ромб.

Такой ромб имеет площадь, равную площади квадрата, и отношение диагоналей $$AC:BD=m:n$$.