Упр.888 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.
Из вершины $$B$$ треугольника $$ABC$$ проведены высота $$BH$$ и биссектриса угла $$B$$, которая пересекает в точке $$E$$ описанную около треугольника окружность с центром $$O$$. Докажите, что луч $$BE$$ является биссектрисой угла $$OBH$$.

Подробный ответ

Пусть $$\angle BCA=\alpha,$$ $$\angle ABE=\angle EBC=\beta.$$ Тогда центральный угол, опирающийся на дугу $$AB,$$ равен

$$\angle AOB=2\alpha.$$

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABO$$: так как $$OA=OB,$$ то

$$\angle ABO=\frac{1}{2}\left(180^\circ-\angle AOB\right)=90^\circ-\alpha.$$

Теперь найдём углы $$\angle OBE$$ и $$\angle HBE.$$

Так как луч $$BE$$ — биссектриса угла $$ABC,$$ то

$$\angle OBE=\angle ABE-\angle ABO=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ.$$

Поскольку $$BH\perp AC,$$ имеем $$\angle HBC=90^\circ-\angle BCA=90^\circ-\alpha,$$ значит

$$\angle HBE=\angle EBC-\angle HBC=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle OBE=\angle HBE,$$