Упр.888 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон. Из вершины В треугольника ABC проведены высота ВН и биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную около треугольника окружность с центром О. Докажите, что луч BE является биссектрисой угла ОВН

Подробный ответ

Пусть $$\angle BCA=\alpha,$$ а $$\angle ABE=\angle EBC=\beta.$$ Тогда, так как $$BE$$ — биссектриса угла $$B,$$ имеем $$\angle ABC=2\beta.$$

Из свойства вписанного угла получаем, что центральный угол, опирающийся на ту же дугу $$AB,$$ равен

$$\angle AOB=2\alpha.$$

Рассмотрим треугольник $$ABO.$$ Он равнобедренный, так как $$OA=OB$$. Поэтому

$$\angle ABO=\frac{1}{2}\left(180^\circ-\angle AOB\right)=90^\circ-\alpha.$$

Теперь найдём угол $$\angle OBE$$:

$$\angle OBE=\angle ABE-\angle ABO=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ.$$

Так как $$BH\perp AC,$$ то

$$\angle HBC=90^\circ-\angle BCA=90^\circ-\alpha.$$

Тогда

$$\angle HBE=\angle EBC-\angle HBC=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ.$$