Упр.887 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте треугольник по трём высотам. Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что BD2 = АВ x ВС — AD x DC.
Построим описанную около треугольника $$ABC$$ окружность и продолжим луч $$BD$$ до пересечения с этой окружностью в точке $$K$$.
Рассмотрим треугольники $$BDC$$ и $$BAK$$.
Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, то
$$\angle ABK=\angle DBC.$$
Кроме того, точки $$A, B, C, K$$ лежат на одной окружности, значит вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$AB$$, равны:
$$\angle AKB=\angle ACB.$$
Но $$K \in BD$$, поэтому $$\angle DBC=\angle ABK$$, а также
$$\angle AKB=\angle ACB=\angle BDC.$$
Следовательно, $$\triangle BAK \sim \triangle BDC$$ по двум углам.
Из подобия получаем
$$\frac{AB}{BD}=\frac{BK}{BC},$$
откуда
$$BD \cdot BK=AB \cdot BC.$$
Так как точки $$B, D, K$$ лежат на одной прямой и $$D$$ находится между $$B$$ и $$K$$, то
$$BK=BD+DK.$$
Тогда
$$BD \cdot (BD+DK)=AB \cdot BC,$$
$$BD^2+BD \cdot DK=AB \cdot BC,$$
$$BD^2=AB \cdot BC-BD \cdot DK.$$
Осталось применить свойство пересекающихся хорд в окружности: для точки $$D$$, лежащей на хорде $$AC$$ и на хорде $$BK$$, имеем
$$BD \cdot DK=AD \cdot DC.$$
Подставляя это равенство, получаем
$$BD^2=AB \cdot BC-AD \cdot DC.$$
Что и требовалось доказать.
