Упр.887 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник по трём высотам.
2. Отрезок $$BD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$BD^2 = AB \times BC — AD \times DC$$.

Построим описанную около треугольника $$ABC$$ окружность и продолжим луч $$BD$$ до пересечения с этой окружностью в точке $$K$$.

Рассмотрим треугольники $$ABK$$ и $$DBC$$.

Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABK=\angle DBC.$$

Кроме того, точки $$A, B, C, K$$ лежат на одной окружности, значит вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$AK$$, равны:

$$\angle AKB=\angle ABC.$$

Но $$D \in AC$$, поэтому

$$\angle ABC=\angle DCB.$$

Следовательно,

$$\angle AKB=\angle DCB.$$

Итак, $$\triangle ABK \sim \triangle DBC$$ по двум углам. Отсюда

$$\frac{AB}{BD}=\frac{BK}{BC}.$$

Перемножая, получаем

$$AB\cdot BC=BD\cdot BK.$$

Так как точки $$B, D, K$$ лежат на одной прямой и $$D$$ находится между $$B$$ и $$K$$, то

$$BK=BD+DK.$$

Тогда

$$AB\cdot BC=BD(BD+DK)=BD^2+BD\cdot DK,$$

откуда

$$BD^2=AB\cdot BC-BD\cdot DK.$$

Осталось применить теорему о пересекающихся хордах для точки $$D$$ внутри окружности:

$$BD\cdot DK=AD\cdot DC.$$

Подставляя это равенство, получаем

$$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC.$$

Ответ

$$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC.$$