Упр.886 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник $$ABC$$, если даны углы $$A$$, $$C$$ и отрезок, равный сумме стороны $$AC$$ и высоты $$BH$$.
2. Пусть $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника $$ABC$$, а $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ — точки, симметричные точке $$H$$ относительно прямых $$BC$$, $$CA$$, $$AB$$. Докажите, что точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ лежат на окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Пусть $$H$$ — точка пересечения высот треугольника $$ABC$$, а $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ — точки, симметричные точке $$H$$ относительно прямых $$BC$$, $$CA$$, $$AB$$ соответственно. Докажем, что все три точки лежат на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

Доказательство

Докажем сначала, что точка $$A’$$ лежит на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$\triangle ABC$$ остроугольный.

   Так как $$A’$$ — отражение точки $$H$$ относительно прямой $$BC$$, то прямая $$BC$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$HA’$$. Значит, $$BH=BA’$$ и $$CH=CA’$$.

   Поскольку $$BH \perp AC$$ и $$CH \perp AB$$, имеем

   $$\angle CBH=90^\circ-\angle C,\qquad \angle BCH=90^\circ-\angle B.$$

   Тогда

   $$\angle ABA’=\angle ABC+\angle CBA’=\angle B+(90^\circ-\angle C),$$

   $$\angle ACA’=\angle ACB+\angle BCA’=\angle C+(90^\circ-\angle B).$$

   Следовательно,

   $$\angle ABA’+\angle ACA’=180^\circ.$$

   Значит, точки $$A, B, A’, C$$ лежат на одной окружности. Но через точки $$A, B, C$$ проходит только одна окружность, поэтому $$A’$$ лежит на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

2. Если $$\triangle ABC$$ прямоугольный.

   Пусть, например, $$\angle B=90^\circ$$. Тогда высота из вершины $$B$$ проходит через точку $$B$$, значит $$H=B$$. Отражение точки $$H$$ относительно прямых $$CA$$ и $$AB$$ даёт соответственно $$C’=B$$ и $$A’=B$$, а точка $$B’$$ совпадает с вершиной $$B$$.

   Следовательно, все три точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ принадлежат окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

3. Если $$\triangle ABC$$ тупоугольный.

   Аналогично остроугольному случаю получаем, что

   $$\angle AA’B+\angle ACB=180^\circ,$$

   то есть точки $$A, A’, B, C$$ лежат на одной окружности. Значит, $$A’$$ принадлежит окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

   Точно так же доказывается, что на этой окружности лежат и точки $$B’$$, $$C’$$.

Итак, точки $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ лежат на окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.