Упр.885 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.
Через каждую вершину треугольника $$ABC$$ проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ проведены биссектрисы внутренних углов $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$. Через вершины $$A$$, $$B$$, $$C$$ проведены прямые, перпендикулярные к этим биссектрисам. Обозначим точки их попарных пересечений через $$A_2$$, $$B_2$$, $$C_2$$.

Докажем, что эти точки лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.

Так как прямая, перпендикулярная биссектрисе внутреннего угла, является биссектрисой соответствующего внешнего угла, то:

$$A_2B_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$C$$;
$$A_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$B$$;
$$B_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$A$$.

Рассмотрим точку $$A_2$$. Она лежит на биссектрисах внешних углов при $$B$$ и $$C$$. Значит, она равноудалена от сторон этих углов, то есть от прямых $$AB$$ и $$BC$$, а также от прямых $$AC$$ и $$BC$$. Следовательно, точка $$A_2$$ равноудалена от прямых $$AB$$ и $$AC$$, а значит, лежит на биссектрисе угла $$A$$.

Аналогично получаем, что точки $$B_2$$ и $$C_2$$ лежат соответственно на биссектрисах углов $$B$$ и $$C$$.

Итак, вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.