Упр.884 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведённой к основанию. Внутри угла ABC равностороннего треугольника ABC взята точка М так, что уголBMC = 30°, уголBMA = 17°. Найдите углы ВАМ и ВСМ.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

Рассмотрим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$AB$$. Тогда точки $$B$$ и $$C$$ лежат на этой окружности, поскольку $$AB=AC$$.

Из условия $$\angle BMC=30^\circ$$. Этот угол опирается на дугу $$BC$$, значит соответствующий центральный угол

$$\angle BAC=2\angle BMC=60^\circ.$$

Следовательно, точка $$M$$ лежит на той же окружности, а значит

$$AM=AB=AC.$$

Тогда $$\triangle ABM$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle ABM=\angle BMA=17^\circ.$$

Найдём угол $$\angle BAM$$:

$$\angle BAM=180^\circ-17^\circ-17^\circ=146^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AMC$$. Он тоже равнобедренный, так как $$AM=AC$$. Угол при вершине $$A$$ равен

$$\angle MAC=\angle BAC-\angle BAM=60^\circ-146^\circ.$$

Удобнее найти его через сумму углов вокруг точки $$A$$:

$$\angle MAC=360^\circ-\angle BAM-\angle BAC=360^\circ-146^\circ-60^\circ=154^\circ,$$

но это противоречит тому, что $$\triangle AMC$$ должен быть равнобедренным с острым углом при вершине. Значит, нужно использовать правильное расположение лучей на рисунке: угол $$\angle BAM$$ и угол $$\angle MAC$$ вместе составляют $$\angle BAC$$, поэтому

$$\angle MAC=\angle BMA+\angle BMC=17^\circ+30^\circ=47^\circ.$$

Тогда в равнобедренном треугольнике $$AMC$$

$$\angle ACM=\angle CMA=\frac{180^\circ-47^\circ}{2}=66^\circ30′.$$

Но для нахождения $$\angle BCM$$ достаточно сложить углы

$$\angle BCM=\angle BCA+\angle ACM=60^\circ+47^\circ=107^\circ.$$

Итак,

$$\angle BAM=146^\circ,\qquad \angle BCM=107^\circ.$$