Упр.883 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка C лежит на отрезке AB. Постройте точку D прямой AB, не лежащую на отрезке AB, так, чтобы $$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}$$. Всегда ли задача имеет решение?
- Отрезок AB является диаметром окружности с центром O. На каждом радиусе OM окружности отложен от центра O отрезок, равный расстоянию от конца M этого радиуса до прямой AB. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.
Пусть точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$. Требуется построить точку $$D$$ на прямой $$AB$$, не лежащую на отрезке $$AB$$, так, чтобы
$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}.$$
Построение
- Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок $$AB$$.
- Отметим точку $$C$$ на отрезке $$AB$$.
- В точке $$A$$ восстановим перпендикуляр к прямой $$AB$$.
- Построим окружность с центром в $$C$$ и радиусом $$AC$$. Пусть она пересечёт перпендикуляр в точке $$C_1$$.
- Построим окружность с центром в $$B$$ и радиусом $$CB$$. Пусть она пересечёт тот же перпендикуляр в точке $$B_1$$.
- Проведём прямую $$B_1B$$ и через точку $$C_1$$ проведём прямую, параллельную $$B_1B$$. Точку её пересечения с прямой $$AB$$ обозначим через $$D$$.
Точка $$D$$ — искомая, так как из подобия соответствующих треугольников получаем
$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}.$$
Анализ
Если $$AC<CB$$, то точка $$D$$ получается по одну сторону от точки $$A$$, то есть вне отрезка $$AB$$, и задача имеет решение.
Если $$AC=CB$$, то
$$\frac{AC}{CB}=1,$$
и тогда нужно, чтобы $$AD=DB$$. Но на прямой $$AB$$ такая точка — середина отрезка $$AB$$, а она лежит на самом отрезке $$AB$$. Значит, в этом случае условие задачи не выполняется.
Следовательно, задача не всегда имеет решение.
Ответ: решение существует не всегда; если $$AC=CB$$, то точки $$D$$ вне отрезка $$AB$$ не существует.
