Упр.882 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в $$n$$ раз дальше, чем от другой ($$n=2, 3, 4$$).
2. Через точку $$A$$ пересечения двух окружностей с центрами в точках $$O_1$$ и $$O_2$$ проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке $$B$$, а другую — в точке $$C$$. Докажите, что отрезок $$BC$$ будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой $$O_1O_2$$.

Пусть прямая, проходящая через точку $$A$$, пересекает первую окружность в точке $$B$$, а вторую — в точке $$C$$. Обозначим через $$H_1$$ и $$H_2$$ основания перпендикуляров, опущенных из центров $$O_1$$ и $$O_2$$ на прямую $$BC$$.

Тогда $$O_1H_1 \perp BC$$ и $$O_2H_2 \perp BC$$. Рассмотрим треугольники $$\triangle BAO_1$$ и $$\triangle ACO_2$$. Так как $$O_1A=O_1B$$ и $$O_2A=O_2C$$, то эти треугольники равнобедренные. Следовательно, высоты $$O_1H_1$$ и $$O_2H_2$$ являются также медианами, значит

$$H_1A=\frac{1}{2}BA,\qquad H_2A=\frac{1}{2}AC.$$

Отсюда

$$H_1H_2=H_1A+AH_2=\frac{1}{2}BA+\frac{1}{2}AC.$$

Теперь рассмотрим прямоугольную трапецию с основаниями $$O_1O_2$$ и $$H_1H_2$$. Тогда

$$BC=\sqrt{(O_1O_2)^2-(H_1O_1-H_2O_2)^2}.$$

При фиксированном $$O_1O_2$$ длина $$BC$$ будет наибольшей тогда и только тогда, когда вычитаемое равно нулю, то есть

$$H_1O_1=H_2O_2.$$

Это возможно лишь в случае, когда $$BC \parallel O_1O_2$$.

Значит, отрезок $$BC$$ будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой $$O_1O_2$$.

Ответ: $$BC$$ наибольший при $$BC \parallel O_1O_2$$.