Упр.881 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершину $$A$$ параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая, пересекающая прямые $$BD$$, $$CD$$ и $$BC$$ соответственно в точках $$M$$, $$N$$ и $$P$$. Докажите, что отрезок $$AM$$ является средним пропорциональным между $$MN$$ и $$MP$$.
2. Докажите, что для всех хорд $$AB$$ данной окружности величина $$\frac{AB^2}{AD}$$, где $$AD$$ — расстояние от точки $$A$$ до касательной в точке $$B$$, имеет одно и то же значение.

Пусть $$AB=CD=a,$$ $$AD=BC=b.$$ Обозначим точки пересечения прямой, проведённой через $$A,$$ с прямыми $$BD, CD, BC$$ через $$M, N, P$$ соответственно.

Докажем, что $$AM^2=MN\cdot MP.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle BAM$$ и $$\triangle DNM.$$ У них

$$\angle BAM=\angle DNM,$$

так как $$AB \parallel CD,$$ а точки $$M,N,D$$ лежат на одной прямой;

$$\angle BMA=\angle DMN,$$

так как это вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle BAM \sim \triangle DNM.$$ Тогда

$$\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{ND}=\frac{a}{a+NC}.$$

Отсюда

$$\frac{MN}{AM}=1+\frac{NC}{a}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle BMP$$ и $$\triangle DMA.$$ Они подобны, так как

$$\angle BMP=\angle DMA,$$

$$\angle BPM=\angle DAM.$$

Значит,

$$\frac{MP}{AM}=\frac{BP}{AD}=\frac{b-PC}{b}=1-\frac{PC}{b}.$$

Так как $$PC \parallel AD,$$ то по теореме Фалеса

$$\frac{NP}{AP}=\frac{NC}{AC}=\frac{NC}{a},$$

а также

$$\frac{NP}{AP}=\frac{PC}{AD}=\frac{PC}{b}.$$

Следовательно,

$$\frac{NC}{a}=\frac{NP}{AP}, \qquad \frac{PC}{b}=\frac{NP}{AP}.$$

Тогда

$$\frac{MP}{AM}=1-\frac{NP}{AP}=\frac{AP-NP}{AP}=\frac{AN}{AP}.$$

Из подобия первых треугольников имеем

$$\frac{MN}{AM}=\frac{AN}{AP}.$$

Значит,

$$\frac{MN}{AM}=\frac{AM}{MP},$$

откуда

$$AM^2=MN\cdot MP.$$

Следовательно, $$AM$$ является средним пропорциональным между $$MN$$ и $$MP$$, то есть

$$AM=\sqrt{MN\cdot MP}.$$