Упр.880 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ прямая, проходящая через вершину $$A$$ и делящая медиану $$BM$$ в отношении $$1:2$$, считая от вершины, пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Найдите отношение площадей треугольников $$ABK$$ и $$ABC$$.
2. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

Пусть прямая, проходящая через вершину $$A$$, пересекает медиану $$BM$$ в точке $$D$$, причём $$BD:DM=1:2$$. Проведём через точку $$M$$ прямую $$ME$$, параллельную $$AK$$, где $$E\in BC$$.

Так как $$M$$ — середина стороны $$AC$$, то $$ME$$ — средняя линия треугольника $$AKC$$. Следовательно, $$E$$ — середина отрезка $$KC$$, то есть

$$KE=EC.$$

Рассмотрим треугольник $$MBC$$. В нём точки $$D$$ и $$K$$ лежат соответственно на сторонах $$MB$$ и $$BC$$, а прямая $$DK$$ параллельна $$AC$$, значит $$DK\parallel MC$$. Тогда по теореме Фалеса

$$\frac{BD}{DM}=\frac{BK}{KE}.$$

По условию $$BD:DM=1:2$$, значит

$$BK:KE=1:2.$$

Так как $$KE=EC$$, получаем

$$BK:KE:EC=1:2:2,$$

откуда

$$BK=\frac{1}{5}BC.$$

Треугольники $$ABK$$ и $$ABC$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому их площади относятся как основания:

$$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{BK}{BC}=\frac{1}{5}.$$

Ответ: $$\frac{1}{5}$$.