Упр.879 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Стороны треугольника $$EFG$$ соответственно равны медианам треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}}=\frac{3}{4}$$.
- Точки $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины дуг $$AB$$ и $$AC$$ (рис. 271). Докажите, что $$AM=AN$$.
Пусть $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины дуг $$AB$$ и $$AC$$ окружности $$(O;R)$$. Тогда
$$\overset{\frown}{AB_1}=\overset{\frown}{B_1B}=\frac12\overset{\frown}{AB},\qquad \overset{\frown}{AC_1}=\overset{\frown}{C_1C}=\frac12\overset{\frown}{AC}.$$
Из равенства дуг получаем равенство соответствующих вписанных углов:
$$\angle B_1AB=\angle B_1BA=\angle B_1C_1A,$$
$$\angle C_1AC=\angle C_1CA=\angle C_1B_1A.$$
Обозначим $$M=AB_1\cap AC_1$$, $$N=AC\cap B_1C_1$$. Тогда
$$\angle AB_1M=\angle C_1AN,\qquad \angle B_1AM=\angle AC_1N.$$
Следовательно,
$$\angle AMB=180^\circ-\angle AB_1M-\angle B_1AM,$$
$$\angle ANC_1=180^\circ-\angle C_1AN-\angle AC_1N,$$
откуда $$\angle AMB=\angle ANC_1$$. Значит, $$\triangle AMN$$ равнобедренный, и потому
$$AM=AN.$$
Ответ: $$AM=AN$$.
