Упр.877 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А₁, а другую — в точках В и В₁. Докажите, что $$\mathrm{АА}_1 \parallel \mathrm{ВВ}_1$$.

Подробный ответ

Рассмотрим две окружности, имеющие единственную общую точку $$M$$. Проведём через точку $$M$$ две секущие: одна пересекает первую окружность в точках $$A$$ и $$A_1$$, другая — вторую окружность в точках $$B$$ и $$B_1$$.

Проведём через точку $$M$$ общую касательную к обеим окружностям. Обозначим её через $$MD$$.

Тогда по теореме об угле между касательной и хордой имеем:

$$\angle A_1MD=\frac12 \overset{\frown}{A_1M}, \qquad \angle B_1MD=\frac12 \overset{\frown}{B_1M}.$$

Но точки $$A_1, M, A$$ лежат на одной прямой, а точки $$B_1, M, B$$ — на одной прямой. Поэтому углы, образованные касательной и секущими, равны соответствующим половинам дуг.

Из равенства углов при касательной следует, что

$$\angle A_1MD=\angle B_1MD,$$

значит, равны и соответствующие дуги:

$$\overset{\frown}{A_1M}=\overset{\frown}{B_1M}.$$

Тогда равны вписанные углы, опирающиеся на эти дуги:

$$\angle AA_1M=\angle BB_1M.$$

Так как точки $$A, A_1, M$$ и $$B, B_1, M$$ лежат на одних прямых, то равенство этих углов означает, что прямые $$AA_1$$ и $$BB_1$$ параллельны.