Упр.876 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Отрезки АА1 ВВ1 и СС1 соединяют вершины треугольника ABC с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой. Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.

Обозначим середины отрезков $$AA_1,\; BB_1,\; CC_1$$ через $$M,\; N,\; K$$ соответственно.

Проведём средние линии треугольника $$ABC$$: пусть $$D,\; E,\; F$$ — середины сторон $$AB,\; BC,\; AC$$. Тогда

$$DE \parallel AC,\quad EF \parallel AB,\quad DF \parallel BC.$$

Рассмотрим точку $$A_1$$ на стороне $$BC$$. При перемещении точки $$A_1$$ по стороне $$BC$$ середина $$M$$ отрезка $$AA_1$$ перемещается по средней линии $$DF$$. Аналогично, точка $$N$$ перемещается по средней линии $$DE$$, а точка $$K$$ — по средней линии $$EF$$.

Предположим, что точки $$M,\; N,\; K$$ лежат на одной прямой. Тогда точки $$D,\; E,\; F$$ тоже лежали бы на одной прямой. Но это невозможно, так как через две точки проходит единственная прямая, а точки $$D,\; E,\; F$$ — вершины треугольника, они не могут быть коллинеарны.

Следовательно, точки $$M,\; N,\; K$$ не лежат на одной прямой.

Теперь построим ромб, площадь которого равна площади квадрата, если отношение диагоналей ромба равно отношению данных отрезков. Пусть диагонали квадрата равны $$m$$ и $$n$$, а диагонали искомого ромба относятся как $$m:n$$.

Площадь квадрата:

$$S_{\text{кв}}=a^2,$$

а площадь ромба через диагонали:

$$S_{\text{ромба}}=\frac{1}{2}d_1d_2.$$

Требуется, чтобы

$$\frac{1}{2}d_1d_2=a^2,$$

и при этом

$$d_1:d_2=m:n.$$

Пусть $$d_1=mx,\; d_2=nx$$. Тогда

$$\frac{1}{2}mnx^2=a^2,$$

откуда

$$x=\sqrt{\frac{2a^2}{mn}}.$$

Значит, нужно построить диагонали ромба длиной

$$d_1=m\sqrt{\frac{2a^2}{mn}},\qquad d_2=n\sqrt{\frac{2a^2}{mn}}.$$

После этого диагонали ромба откладывают взаимно перпендикулярно и делят пополам в точке пересечения.

Ответ

$$M,\; N,\; K$$ не лежат на одной прямой. Ромб строится по двум взаимно перпендикулярным диагоналям $$d_1,\; d_2$$, удовлетворяющим условиям $$d_1:d_2=m:n$$ и $$\frac{1}{2}d_1d_2=a^2$$.