Упр.876 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ соединяют вершины треугольника $$ABC$$ с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.

Подробный ответ

Пусть $$M$$, $$N$$, $$K$$ — середины отрезков $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$ соответственно. Докажем, что точки $$M$$, $$N$$, $$K$$ не лежат на одной прямой.

Проведём через середины сторон треугольника $$ABC$$ средние линии. Обозначим середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$AC$$ через $$D$$, $$E$$, $$F$$ соответственно. Тогда

$$DE \parallel AC,\qquad EF \parallel AB,\qquad DF \parallel BC.$$

Рассмотрим точку $$A_1$$, лежащую на стороне $$BC$$. Если она перемещается по стороне $$BC$$, то середина отрезка $$AA_1$$ перемещается по средней линии $$DF$$. Аналогично, середина отрезка $$BB_1$$ перемещается по $$DE$$, а середина отрезка $$CC_1$$ — по $$EF$$.

Предположим, что точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$ лежат на одной прямой. Тогда, поскольку $$M \in DF$$, $$N \in DE$$, $$K \in EF$$, точки $$D$$, $$E$$ и $$F$$ также должны лежать на одной прямой. Но это невозможно, так как через две точки проходит единственная прямая, а точки $$D$$, $$E$$, $$F$$ — вершины треугольника, они неколлинеарны.

Получили противоречие. Значит, точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$ не лежат на одной прямой.