Упр.875 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Из вершины $$A$$ треугольника $$ABC$$ проведены перпендикуляры $$AM$$ и $$AK$$ к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах $$B$$ и $$C$$. Докажите, что отрезок $$MK$$ равен половине периметра треугольника $$ABC$$.
- Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.
Обозначим через $$D$$ и $$E$$ точки пересечения прямой $$MK$$ соответственно с прямыми $$AB$$ и $$AC$$, а через $$F$$ и $$G$$ — основания перпендикуляров $$AM$$ и $$AK$$ на биссектрисы внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$.
Тогда $$FM \perp OB$$ и $$AK \perp OC$$, а также $$OB$$ и $$OC$$ — биссектрисы внешних углов треугольника $$ABC$$.
Рассмотрим треугольник $$FBA$$. Прямая $$OB$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$B$$, значит точка $$F$$ лежит на биссектрисе внешнего угла, а потому $$FB=AB$$. Кроме того, $$FM=MA$$, так как $$M$$ лежит на перпендикуляре, опущенном из $$A$$ на биссектрису внешнего угла.
Следовательно, $$\triangle FBA$$ равнобедренный с основанием $$FA$$.
Аналогично, в треугольнике $$AGC$$ имеем $$CG=AC$$ и $$AK=KG$$, значит $$\triangle AGC$$ равнобедренный с основанием $$AG$$.
Теперь рассмотрим четырёхугольник $$FBCG$$. Из равенств $$FB=AB$$ и $$CG=AC$$ получаем
$$FG=FB+BC+CG=AB+BC+AC.$$
Так как $$FM=MA$$ и $$AK=KG$$, то точки $$M$$ и $$K$$ являются серединами отрезков $$FA$$ и $$AG$$ соответственно. Следовательно, $$MK$$ — средняя линия треугольника $$FAG$$, поэтому
$$MK=\frac{FG}{2}.$$
Подставляя найденное выражение для $$FG$$, получаем
$$MK=\frac{AB+BC+AC}{2}.$$
Значит, отрезок $$MK$$ равен половине периметра треугольника $$ABC$$.
Ответ: $$MK=\dfrac{AB+BC+AC}{2}$$.
