Упр.875 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Из вершины А треугольника ABC проведены перпендикуляры AM и АК к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах В и С. Докажите, что отрезок МК равен половине периметра треугольника ABC. Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.

Обозначим точки пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ с прямой $$MK$$ через $$F$$ и $$G$$ соответственно, то есть $$F \in MK$$, $$F \in AB$$, $$G \in MK$$, $$G \in AC$$.

Так как $$AM \perp BF$$ и $$BF$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$B$$, то прямая $$BF$$ является осью симметрии угла между сторонами $$BA$$ и продолжением $$BC$$. Следовательно, треугольник $$FBA$$ равнобедренный, поэтому

$$FB=AB,\qquad FM=MA.$$

Аналогично, так как $$AK \perp CG$$ и $$CG$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$, то треугольник $$AGC$$ равнобедренный, значит

$$CG=AC,\qquad KG=KA.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$FBCG$$. Его стороны равны

$$FB=AB,\qquad BC=BC,\qquad CG=AC.$$

Точки $$F$$ и $$G$$ лежат на одной прямой $$MK$$, а отрезки $$FM$$ и $$KG$$ равны соответственно $$MA$$ и $$KA$$. Поэтому

$$MK=FM+FG+GK=MA+FG+KA.$$

Остаётся найти $$FG$$. Так как точки $$F$$ и $$G$$ лежат на биссектрисах внешних углов, то отрезок между ними равен сумме оснований и боковой стороны треугольника:

$$FG=FB+BC+CG=AB+BC+AC.$$

Тогда

$$ MK=FM+FG+GK \\ MK=MA+(AB+BC+AC)+KA. $$

Но $$MA=KA$$, следовательно

$$ MK=AB+BC+AC. $$

Так как требуется половина периметра треугольника $$ABC$$, получаем

$$ MK=\frac{AB+BC+AC}{2}. $$

Ответ

$$MK=\frac{AB+BC+AC}{2}.$$

Для построения трапеции по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон:

1. Построить большее основание $$AD=a$$.
2. В точке $$A$$ отложить угол, равный данному, и на его стороне отложить боковую сторону $$AB=b$$.
3. Провести через точку $$B$$ прямую, параллельную $$AD$$.
4. На этой прямой отложить отрезок $$BC_1=m$$.
5. Построить окружность с центром $$C_1$$ и радиусом, соответствующим отношению двух других сторон $$\frac{n}{m}$$, и отметить точку пересечения с отрезком $$BD$$.
6. Через точку $$D$$ провести прямую, параллельную $$C_1D_1$$; её пересечение с прямой $$BC_1$$ даст точку $$C$$.

Искомая трапеция $$ABCD$$ построена.