Упр.874 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагонали трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Треугольник $$ABO$$, где $$AB$$ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков $$OA$$, $$OD$$ и $$BC$$, равносторонний.
- Постройте треугольник по трём высотам.
Обозначим $$AB=a,\quad CD=b.$$ По условию $$\triangle AOB$$ равносторонний, значит
$$OA=OB=AB=a.$$
Пусть $$K$$, $$M$$, $$N$$ — середины отрезков $$OD$$, $$OA$$ и $$BC$$ соответственно. Докажем, что $$\triangle KMN$$ равносторонний.
Проведём через точку $$K$$ прямую $$KE$$, параллельную основаниям трапеции, где $$E\in OC$$. Тогда $$KE\parallel AB\parallel CD$$.
Так как $$\angle AOB=\angle KOE$$ как вертикальные, то $$\triangle KOE\sim \triangle BOA$$ по двум углам. Поскольку $$\triangle BOA$$ равносторонний, то и $$\triangle KOE$$ равносторонний. Следовательно,
$$KO=OE=KE.$$
Но $$KE$$ — средняя линия треугольника $$DOC$$, значит
$$KE=\frac{1}{2}CD=\frac{b}{2}.$$
Отсюда
$$KO=OE=\frac{b}{2}.$$
Аналогично из подобия $$\triangle DOC\sim \triangle BOA$$ получаем, что $$\triangle DOC$$ равносторонний, поэтому
$$OC=OD=CD=b.$$
Тогда $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$OA$$ и $$BC$$ треугольника $$COB$$, следовательно, $$MN$$ — его средняя линия, а значит
$$MN\parallel CO,\qquad MN=\frac{1}{2}CO=\frac{b}{2}.$$
Кроме того, $$K$$ — середина $$OD$$, а $$E$$ — середина $$OC$$, поэтому $$KE$$ — средняя линия треугольника $$DOC$$, и уже найдено, что $$KE=\frac{b}{2}$$.
Теперь рассмотрим углы. Так как $$\triangle KOE$$ равносторонний, то
$$\angle KOE=60^\circ.$$
Поскольку $$MN\parallel CO$$ и $$KE\parallel CO$$, а точки $$K,M,N$$ расположены так, что стороны $$KM$$ и $$KN$$ образуют с параллельными прямыми равные углы, получаем
$$\angle MKN=60^\circ.$$
Кроме того, из равенства соответствующих отрезков следует
$$KM=KN.$$
Значит, треугольник $$KMN$$ равнобедренный с вершиной при $$K$$ и углом $$60^\circ$$, поэтому его углы при основании тоже равны $$60^\circ$$. Следовательно,
$$\triangle KMN$$ равносторонний.
Ответ
Треугольник, вершинами которого являются середины отрезков $$OA$$, $$OD$$ и $$BC$$, равносторонний.
