Упр.874 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Треугольник АВО, где АВ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков ОА, OD и ВС, равносторонний. Постройте треугольник по трём высотам.

Подробный ответ

Обозначим середины отрезков $$OA,\ OD,\ BC$$ соответственно через $$M,\ K,\ N$$.

Пусть $$OA=OB=AB=a$$, а $$CD=b$$. Так как $$AB \parallel CD$$, то угол $$\angle AOB$$ равен углу между диагоналями трапеции, а по условию треугольник $$AOB$$ равносторонний, значит

$$\angle AOB=60^\circ,\qquad OA=OB=AB=a.$$

Проведём через точку $$K$$ прямую $$KE \parallel CD$$, где $$E \in OC$$. Тогда $$KE \parallel AB$$, поэтому

$$\angle KOE=\angle BOA=60^\circ,$$

а также $$\angle KEO=\angle OBA=60^\circ$$. Следовательно, $$\triangle KOE$$ равносторонний, и потому

$$KO=OE=KE.$$

Но $$KE$$ — средняя линия треугольника $$DOC$$, значит

$$KE=\frac{1}{2}CD=\frac{b}{2}.$$

Отсюда

$$KO=OE=\frac{b}{2}.$$

Аналогично, так как $$\triangle DOA \sim \triangle COB$$, получаем, что $$\triangle DOC$$ равносторонний. Тогда

$$OC=OD=CD=b.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$COB$$. Точка $$N$$ — середина стороны $$BC$$, значит $$NE$$ — средняя линия треугольника $$COB$$, поэтому

$$NE=\frac{1}{2}OB=\frac{a}{2},\qquad NE \parallel OB.$$

Следовательно,

$$\angle NEO=\angle BOA=60^\circ.$$

Так как $$K$$ и $$N$$ — середины сторон $$OD$$ и $$BC$$, то

$$OK=\frac{b}{2},\qquad OM=\frac{a}{2},\qquad EN=\frac{a}{2}.$$

Из равенства углов при вершине $$O$$ получаем

$$\angle KOM=120^\circ,\qquad \angle KEN=120^\circ.$$

Значит, $$\triangle KOM \cong \triangle KEN$$, откуда

$$KM=KN,$$

а также

$$\angle MKO=\angle NKE.$$

Тогда угол треугольника $$MKN$$ при вершине $$K$$ равен

$$\angle MKN=\angle MKO+\angle OKE-\angle NKE=60^\circ.$$

Поскольку $$KM=KN$$ и вершина при $$K$$ равна $$60^\circ$$, то и два угла при основании равны $$60^\circ$$. Следовательно, $$\triangle MKN$$ равносторонний.

Построение треугольника по трём высотам

Пусть даны высоты $$AA_1=a,\ BB_1=b,\ CC_1=c$$.

1. Построим отрезок

$$y=\frac{ac}{b}$$

по методу пропорциональных отрезков.

2. Проведём прямую $$f$$ и выберем на ней точку $$A_2$$. Отложим на ней отрезок $$A_2C_2=y$$.

3. Построим две окружности $$O_1(A_2,a)$$ и $$O_2(C_2,c)$$. Точку пересечения обозначим через $$B$$. Треугольник $$A_2BC_2$$ построен.

4. Опустим перпендикуляр $$BB_2 \perp A_2C_2$$, $$B_2 \in A_2C_2$$. На луче $$BB_2$$ отложим отрезок $$BB_1=b$$.

5. Через точку $$B_1$$ проведём прямую $$AC \parallel A_2C_2$$. Точки пересечения обозначим так: $$A=AC\cap B A_2$$, $$C=AC\cap B C_2$$. Тогда треугольник $$ABC$$ — искомый.