Упр.873 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.
- Постройте треугольник $$ABC$$, если даны угол $$\angle A$$, угол $$\angle C$$ и отрезок, равный сумме стороны $$AC$$ и высоты $$BH$$.
Пусть в четырёхугольнике $$ABCD$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно, а
$$MN=\frac{AB+CD}{2}.$$
Докажем, что $$ABCD$$ — трапеция или параллелограмм.
Рассмотрим ломаную $$A\!-\!M\!-\!N\!-\!D$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон, то
$$AM=\frac{AB}{2}, \qquad ND=\frac{CD}{2}.$$
Тогда
$$AM+ND=\frac{AB+CD}{2}=MN.$$
Значит, точки $$A, M, N, D$$ лежат на одной прямой, причём $$M$$ и $$N$$ находятся между $$A$$ и $$D$$. Следовательно, отрезки $$AB$$ и $$CD$$ параллельны этой прямой, то есть
$$AB \parallel CD.$$
Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ одна пара противоположных сторон параллельна, значит, $$ABCD$$ — трапеция. Если же одновременно параллельны и другие противоположные стороны, то четырёхугольник является параллелограммом.
Ответ: $$ABCD$$ — трапеция или параллелограмм.
