Упр.872 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.
Обозначим середины сторон $$AB,\,BC,\,CD,\,DA$$ соответственно через $$M,\,N,\,P,\,Q$$.
Пусть сначала стороны четырёхугольника попарно не параллельны. Тогда по свойству отрезка, соединяющего середины сторон треугольника, имеем:
$$MP<\frac{AD+BC}{2}, \qquad NQ<\frac{AB+CD}{2}.$$
Складывая, получаем
$$MP+NQ<\frac{AB+BC+CD+AD}{2},$$
что противоречит условию.
Значит, хотя бы одна пара противоположных сторон параллельна. Пусть, например, $$AD\parallel BC.$$ Тогда для отрезков, соединяющих середины сторон, получаем:
$$MP\le \frac{AD+BC}{2}, \qquad NQ\le \frac{AB+CD}{2}.$$
Следовательно,
$$MP+NQ\le \frac{AB+BC+CD+AD}{2}.$$
По условию здесь выполняется равенство. Значит, равенство должно быть и в каждом из неравенств, а это возможно только тогда, когда $$AB\parallel CD$$ и $$AD\parallel BC$$.
Итак, обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.
Построим треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.
Пусть даны отрезки $$a,\ b,\ d$$, где $$a=AB,\ b=BC,\ d=BD$$, а $$BD$$ — биссектриса угла при вершине $$B$$.
- Построим отрезок $$DE=\frac{ad}{b}$$.
- Проведём произвольную прямую и отметим на ней точку $$B$$. Отложим на этой прямой отрезок $$BD=d$$.
- Построим окружности $$O_1(B,a)$$ и $$O_2(E,a)$$. Точку их пересечения обозначим через $$A$$.
- Из точки $$B$$ построим угол $$\angle EBC=\angle ABE$$ так, чтобы луч $$BE$$ был биссектрисой этого угла.
- Проведём луч $$AD$$ и найдём точку его пересечения с лучом $$BC$$. Получим точку $$C$$.
Треугольник $$ABC$$ — искомый.
Ответ
$$ABCD$$ — параллелограмм; треугольник строится по указанному алгоритму.
