Упр.872 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
2. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ точки $$M,N,P,Q$$ — середины сторон $$AB,BC,CD,DA$$ соответственно.

Тогда по свойству средней линии треугольника:

$$MP\le \frac{AD+BC}{2}, \qquad NQ\le \frac{AB+CD}{2}.$$

Сложим эти неравенства:

$$MP+NQ\le \frac{AB+BC+CD+AD}{2}.$$

По условию задачи

$$MP+NQ=\frac{AB+BC+CD+AD}{2}.$$

Значит, в полученных неравенствах достигается равенство. Но равенство в оценке для средней линии возможно только тогда, когда соответствующие стороны параллельны. Следовательно,

$$AB\parallel CD \quad \text{и} \quad BC\parallel AD.$$

Итак, обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

$$ABCD$$ — параллелограмм.