Упр.871 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.
Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведённой к основанию.

Подробный ответ

Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ стороны $$AB$$ и $$CD$$ не параллельны, а точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Нужно доказать, что

$$MN<\frac{AB+CD}{2}.$$

Доказательство

Проведём через точку $$M$$ прямую, параллельную стороне $$AD$$, и через точку $$N$$ — прямую, параллельную $$BC$$. Обозначим точку их пересечения через $$E$$.

Тогда четырёхугольник $$AMEN$$ и четырёхугольник $$BMEN$$ удобно рассматривать как части фигуры, в которых можно применить свойства параллельных прямых и средних линий.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$M$$ — середина стороны $$AB$$, а прямая через $$M$$ параллельна $$AD$$, то точка $$E$$ лежит на продолжении средней линии треугольника, и потому

$$ME=\frac{AD}{2}.$$

Аналогично, в треугольнике $$BCD$$ из того, что $$N$$ — середина стороны $$CD$$ и $$NE\parallel BC$$, получаем

$$NE=\frac{BC}{2}.$$

Теперь в треугольнике $$MEN$$ по неравенству треугольника имеем

$$MN<ME+EN.$$

Подставляя найденные значения, получаем

$$MN<\frac{AD}{2}+\frac{BC}{2}=\frac{AD+BC}{2}.$$

Что и требовалось доказать.