Упр.870 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Точка $$M$$ не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что существуют точки $$N$$, $$P$$ и $$Q$$, расположенные так, что $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ являются соответственно серединами отрезков $$MN$$, $$NP$$, $$PQ$$ и $$QM$$.
- Задание учебника 2023 года. Точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$. Постройте точку $$D$$ прямой $$AB$$, не лежащую на отрезке $$AB$$, так, чтобы $$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}$$. Всегда ли задача имеет решение?
Обозначим через $$O$$ середину диагонали $$AC$$. Построим точку $$N$$, симметричную точке $$M$$ относительно точки $$A$$, точку $$P$$, симметричную точке $$N$$ относительно точки $$B$$, и точку $$Q$$, симметричную точке $$P$$ относительно точки $$C$$.
Тогда по построению
$$A$$ — середина отрезка $$MN,$$
$$B$$ — середина отрезка $$NP,$$
$$C$$ — середина отрезка $$PQ.$$
Осталось доказать, что $$D$$ — середина отрезка $$QM$$.
Рассмотрим четырёхугольник $$MNPQ$$. В нём отрезок $$AB$$ соединяет середины сторон $$MN$$ и $$NP$$, значит, $$AB$$ — средняя линия треугольника $$MNP$$. Поэтому
$$AB \parallel MP,$$
а аналогично из того, что $$BC$$ соединяет середины сторон $$NP$$ и $$PQ$$, получаем
$$BC \parallel NQ.$$
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то
$$AB \parallel CD,\qquad BC \parallel AD.$$
Следовательно,
$$MP \parallel CD,\qquad NQ \parallel AD.$$
Теперь в четырёхугольнике $$MQDN$$ диагонали $$MD$$ и $$QN$$ пересекаются и делятся пополам, потому что через середины соответствующих сторон проведены параллельные прямые. Значит, $$MQDN$$ — параллелограмм, откуда
$$MD \parallel QN,\qquad MD = DQ.$$
Следовательно, точка $$D$$ является серединой отрезка $$QM$$.
Итак, существуют точки $$N, P, Q$$ такие, что $$A, B, C, D$$ являются соответственно серединами отрезков $$MN, NP, PQ, QM$$.
