Упр.869 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$P$$. Известно, что $$\angle ADP=\angle PDC$$, $$\angle ADP=\frac{2}{3}\angle PAD$$ и $$AD=BD=CD$$.
   а) Найдите все углы четырёхугольника.
   б) Докажите, что $$AB^2=BP\cdot BD$$.
2. Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в $$n$$ раз дальше, чем от другой ($$n=2,3,4$$).

Обозначим $$\angle ADP=\alpha.$$ Тогда из условия $$\angle PDC=2\alpha,$$ а также $$\angle PAD=\frac{3}{2}\alpha.$$

Так как $$AD=BD=CD,$$ то точки $$A,B,C,D$$ лежат на окружности с центром в точке $$D$$ и радиусом $$AD.$$

Тогда вписанный угол, опирающийся на дугу $$AB,$$ равен

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle ADB=\frac{\alpha}{2},$$

а вписанный угол, опирающийся на дугу $$BC,$$ равен

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BDC=\alpha.$$

Теперь найдём углы четырёхугольника:

$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=\alpha+\frac{3}{2}\alpha=\frac{5}{2}\alpha,$$

$$\angle D=\angle ADP+\angle PDC=\alpha+2\alpha=3\alpha,$$

$$\angle C=\angle ACB+\angle BCD=\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{2}\alpha=2\alpha,$$

$$\angle B=360^\circ-\left(\angle A+\angle C+\angle D\right).$$

Подставим:

$$\frac{5}{2}\alpha+2\alpha+3\alpha+\angle B=360^\circ,$$

$$\angle B=360^\circ-\frac{15}{2}\alpha.$$

Но из соотношений для углов в окружности получаем также

$$\angle B=\angle A+\angle C=\frac{5}{2}\alpha+2\alpha=\frac{9}{2}\alpha.$$

Тогда

$$\frac{5}{2}\alpha+\frac{9}{2}\alpha+2\alpha+3\alpha=360^\circ,$$

$$12\alpha=360^\circ,$$

$$\alpha=30^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle A=\frac{5}{2}\cdot 30^\circ=75^\circ,$$

$$\angle B=\frac{9}{2}\cdot 30^\circ=135^\circ,$$

$$\angle C=2\cdot 30^\circ=60^\circ,$$

$$\angle D=3\cdot 30^\circ=90^\circ.$$

Докажем теперь, что $$AB^2=BP\cdot BD.$$ Рассмотрим треугольники $$ABP$$ и $$DBA.$$

Имеем:

$$\angle B$$ — общий угол,

$$\angle BAP=\angle BDA=\alpha=30^\circ.$$

Значит, $$\triangle ABP \sim \triangle DBA$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{AB}{BD}=\frac{BP}{AB},$$

откуда

$$AB^2=BP\cdot BD.$$

Ответ: $$\angle A=75^\circ,\ \angle B=135^\circ,\ \angle C=60^\circ,\ \angle D=90^\circ;\quad AB^2=BP\cdot BD.$$