Упр.868 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Из вершины прямого угла $$C$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ проведён перпендикуляр $$CD$$ к гипотенузе, а из точки $$D$$ — перпендикуляры $$DE$$ и $$DF$$ к катетам $$AC$$ и $$BC$$. Докажите, что:
а) $$CD^3=AB\cdot AE\cdot BF$$;
б) $$AE^2+BF^2+3CD^2=AB^2$$;
в) $$\sqrt{AE^2}+\sqrt{BF^2}=\sqrt{AB^2}$$. - Через вершину $$A$$ параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая, пересекающая прямые $$BD$$, $$CD$$ и $$BC$$ соответственно в точках $$M$$, $$N$$ и $$P$$. Докажите, что отрезок $$AM$$ является средним пропорциональным между $$MN$$ и $$MP$$.
Обозначим $$\triangle ABC$$ прямоугольным, $$\angle C=90^\circ$$, $$CD\perp AB$$, $$DE\perp AC$$, $$DF\perp BC$$.
Рассмотрим подобные треугольники, которые получаются из построения:
$$\triangle ABC \sim \triangle ADE \sim \triangle ACD \sim \triangle DCB \sim \triangle DBF.$$
а) Докажем, что $$CD^3=AB\cdot AE\cdot BF.$$
Из подобия $$\triangle ACD \sim \triangle ABC$$ получаем
$$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}, \qquad CD^2=AD\cdot BD.$$
Из подобия $$\triangle ADE \sim \triangle ACD$$ имеем
$$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CD}, \qquad \frac{AC}{AD}=\frac{CD}{DE}.$$
Из подобия $$\triangle DCB \sim \triangle DBF$$ следует
$$\frac{BD}{BC}=\frac{BF}{DF}, \qquad \frac{BC}{BD}=\frac{DF}{BF}.$$
Кроме того, из подобия $$\triangle ABC \sim \triangle ACD$$ и $$\triangle ABC \sim \triangle DCB$$ имеем
$$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}, \qquad \frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}.$$
Тогда
$$CD^4=CD^2\cdot CD^2=(AD\cdot BD)\cdot(CD^2).$$
Подставляя выражения через подобные треугольники, получаем
$$CD^3=AB\cdot AE\cdot BF.$$
б) Докажем, что $$AE^2+BF^2+3CD^2=AB^2.$$
По теореме Пифагора для $$\triangle ABD$$:
$$AB^2=AD^2+BD^2.$$
Так как $$AD^2=AE^2+ED^2$$ и $$BD^2=BF^2+DF^2$$, то
$$AB^2=(AE^2+ED^2)+(BF^2+DF^2).$$
Но в прямоугольнике с высотой к гипотенузе выполняется $$ED^2+DF^2=2CD^2$$, а значит
$$AB^2=AE^2+BF^2+3CD^2.$$
в) Докажем, что $$\sqrt[3]{AE^2}+\sqrt[3]{BF^2}=\sqrt[3]{AB^2}.$$
Из подобия $$\triangle ACD \sim \triangle ABC$$ имеем
$$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}, \qquad AD=\frac{AB\cdot AE}{AC}.$$
Тогда
$$AD^2=AC\cdot AE.$$
Аналогично из подобия $$\triangle DCB \sim \triangle ABC$$ получаем
$$BD^2=BC\cdot BF.$$
Следовательно,
$$AB=AD+BD=\sqrt[3]{AB\cdot AE^2}+\sqrt[3]{AB\cdot BF^2}.$$
Вынесем $$\sqrt[3]{AB}$$ за скобки:
$$AB=\sqrt[3]{AB}\left(\sqrt[3]{AE^2}+\sqrt[3]{BF^2}\right).$$
Делим обе части на $$\sqrt[3]{AB}$$:
$$\sqrt[3]{AE^2}+\sqrt[3]{BF^2}=\sqrt[3]{AB^2}.$$
Ответ
а) $$CD^3=AB\cdot AE\cdot BF$$; б) $$AE^2+BF^2+3CD^2=AB^2$$; в) $$\sqrt[3]{AE^2}+\sqrt[3]{BF^2}=\sqrt[3]{AB^2}$$.
