Упр.867 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ из середины $$D$$ основания $$AC$$ проведён перпендикуляр $$DH$$ к стороне $$BC$$. Пусть $$M$$ — середина отрезка $$DH$$. Докажите, что $$BM$$ перпендикулярен $$AH$$.
2. В треугольнике $$ABC$$ прямая, проходящая через вершину $$A$$ и делящая медиану $$BM$$ в отношении $$1:2$$, считая от вершины, пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Найдите отношение площадей треугольников $$ABK$$ и $$ABC$$.

Проведём через точку $$M$$ прямую $$ME$$, параллельную $$AK$$, где $$E \in BC$$.

Тогда в треугольнике $$AKC$$ отрезок $$ME$$ — средняя линия, так как $$M$$ — середина $$AC$$, а $$ME \parallel AK$$. Значит, $$KE=EC.$$

Рассмотрим треугольник $$MBC$$. По теореме Фалеса для двух параллельных прямых $$AK$$ и $$ME$$ получаем

$$\frac{BD}{DM}=\frac{BK}{KE}.$$

По условию $$\frac{BD}{DM}=\frac{1}{2},$$

следовательно, $$BK:KE=1:2.$$

Так как $$KE=EC,$$ то

$$BK:KE:EC=1:2:2,$$

откуда

$$BK=\frac{1}{5}BC.$$

Треугольники $$ABK$$ и $$ABC$$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому отношение их площадей равно отношению соответствующих оснований:

$$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{BK}{BC}=\frac{1}{5}.$$

Ответ: $$\frac{1}{5}$$