Упр.866 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Из точки $M$ внутренней области угла $AOB$ проведены перпендикуляры $MP$ и $MQ$ к его сторонам $OA$ и $OB$. Из точек $P$ и $Q$ проведены перпендикуляры $PR$ и $QS$ соответственно к $OB$ и $OA$. Докажите, что $RS \perp OM$.
Стороны треугольника $EFG$ соответственно равны медианам треугольника $ABC$. Докажите, что $$\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}}=\frac{3}{4}.$$

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ проведены медианы $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$. Построим треугольник $$DA_1B_1$$ так, чтобы

$$AD \parallel BB_1,\quad BD \parallel AC.$$

Тогда четырёхугольник $$ADBB_1$$ — параллелограмм, значит

$$AD=BB_1.$$

Так как $$B_1$$ — середина $$AC$$, то

$$BD=AB_1=\frac12 AC.$$

Точка $$C_1$$ — середина диагонали $$AB$$. Следовательно, в четырёхугольнике $$BDB_1C$$ диагонали пересекаются и делятся пополам, значит это параллелограмм. Отсюда

$$B_1C=BD=\frac12 AC.$$

Аналогично, четырёхугольник $$DCA_1C_1$$ — параллелограмм, поэтому

$$DA_1=CC_1.$$

Итак, у треугольника $$DAA_1$$ стороны равны медианам треугольника $$ABC$$:

$$AD=BB_1,\quad DA_1=CC_1,\quad A_1D=AA_1.$$

Значит, $$\triangle DAA_1$$ — искомый треугольник, построенный на медианах треугольника $$ABC$$.

Теперь найдём его площадь. Треугольник $$DAA_1$$ разбивается на три треугольника:

$$S_{DAA_1}=S_{ABD}+S_{ABA_1}+S_{A_1BC_1}.$$

Так как $$D$$ и $$A_1$$ построены на серединах сторон, то

$$S_{ABD}=\frac12 S_{ABC},$$

$$S_{ABA_1}=\frac12\cdot \frac12 S_{ABC}=\frac14 S_{ABC},$$

$$S_{A_1BC_1}=\frac14 S_{ABC}.$$