Упр.865 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В треугольнике ABC уголA=180°/7 и уголB = 360°/7. Докажите, что 1/BC=1/AC+1/AB. В треугольнике ABC, сторона АС которого в два раза больше стороны ВС, проведены биссектриса СМ и биссектриса внешнего угла при вершине С, пересекающая прямую АВ в точке К. Докажите, что SBCM=1/2SACM=1/3SABC=1/2SCMK.

Пусть $$BC=a,$$ тогда по условию $$AC=2a.$$

Проведём биссектрису $$CM$$ и биссектрису внешнего угла при вершине $$C,$$ пересекающую прямую $$AB$$ в точке $$K.$$

Так как $$CM$$ — биссектриса угла $$C,$$ то по теореме о биссектрисе

$$\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BC}=\frac{2a}{a}=2,$$

откуда $$AM=2MB.$$ Следовательно,

$$AB=AM+MB=3MB,$$

значит,

$$MB=\frac13AB.$$

Треугольники $$BCM$$ и $$ACM$$ имеют общую высоту, опущенную из $$C$$ на прямую $$AB,$$ поэтому их площади относятся как основания:

$$\frac{S_{BCM}}{S_{ACM}}=\frac{BM}{AM}=\frac12.$$

Значит,

$$S_{BCM}=\frac12S_{ACM}.$$

Кроме того, так как $$S_{ABC}=S_{BCM}+S_{ACM},$$ а $$S_{BCM}=\frac12S_{ACM},$$ то

$$S_{ABC}=\frac32S_{ACM},$$

откуда

$$S_{BCM}=\frac13S_{ABC}.$$

Теперь рассмотрим биссектрису внешнего угла при вершине $$C.$$ По теореме о биссектрисе внешнего угла

$$\frac{AK}{KB}=\frac{AC}{BC}=2,$$

то есть $$AK=2KB.$$ Тогда

$$AB=AK-KB=KB,$$

следовательно, $$KB=AB.$$

Треугольники $$BCM$$ и $$CMK$$ имеют общую высоту из точки $$C$$ к прямой $$AB,$$ поэтому

$$\frac{S_{BCM}}{S_{CMK}}=\frac{BM}{MK}.$$

Так как $$MK=MB+BK=MB+AB=4MB,$$ то

$$\frac{S_{BCM}}{S_{CMK}}=\frac{BM}{4BM}=\frac14,$$

значит,

$$S_{BCM}=\frac14S_{CMK}.$$

Все требуемые равенства доказаны.

Ответ

$$S_{BCM}=\frac12S_{ACM}=\frac13S_{ABC}=\frac14S_{CMK}.$$