Упр.865 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. В треугольнике $$ABC$$ $$\angle A=\frac{180^\circ}{7}$$ и $$\angle B=\frac{360^\circ}{7}$$. Докажите, что $$\frac{1}{BC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}$$.
- Задание учебника 2023 года. В треугольнике $$ABC$$, сторона $$AC$$ которого в два раза больше стороны $$BC$$, проведены биссектриса $$CM$$ и биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$, пересекающая прямую $$AB$$ в точке $$K$$. Докажите, что $$S_{BCM}=\frac{1}{2}S_{ACM}=\frac{1}{3}S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{CMK}$$.
Пусть $$BC=a,$$ тогда $$AC=2a.$$
Проведём биссектрису $$CM$$ и биссектрису внешнего угла при вершине $$C,$$ пересекающую прямую $$AB$$ в точке $$K.$$
Рассмотрим треугольники $$BCM$$ и $$ACM.$$ У них общая высота, опущенная из точки $$C$$ на прямую $$AB,$$ поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:
$$\frac{S_{BCM}}{S_{ACM}}=\frac{BM}{AM}.$$
По теореме о биссектрисе в треугольнике $$ABC$$
$$\frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BC}=\frac{2a}{a}=2,$$
значит, $$BM=\frac12 AM.$$ Тогда
$$AB=AM+BM=AM+\frac12 AM=\frac32 AM,$$
откуда
$$BM=\frac13 AB.$$
Следовательно,
$$S_{BCM}=\frac12 S_{ACM}=\frac13 S_{ABC}.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$BCK$$ и $$ACK.$$ По теореме о биссектрисе внешнего угла
$$\frac{BK}{AK}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}.$$
Значит, $$AK=2BK,$$ а потому
$$AB=AK-BK=2BK-BK=BK,$$
то есть $$BK=AB.$$
Так как $$BM=\frac13 AB,$$ то
$$KM=BK-BM=AB-\frac13 AB=\frac23 AB=2BM.$$
Следовательно,
$$\frac{S_{BCM}}{S_{CMK}}=\frac{BM}{MK}=\frac12,$$
то есть
$$S_{BCM}=\frac12 S_{CMK}.$$
Итак,
$$S_{BCM}=\frac12 S_{ACM}=\frac13 S_{ABC}=\frac12 S_{CMK}.$$
