Упр.864 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна $$a$$.
2. Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, в котором точки $$D$$, $$E$$, $$F$$ — середины трёх высот и лежат на одной прямой.

Докажем, что $$\triangle ABC$$ прямоугольный.

Предположим противное: пусть треугольник $$ABC$$ не прямоугольный. Тогда его высоты пересекаются в одной точке $$H$$, а их середины лежат на трёх различных средних линиях треугольника.

Проведём через вершину $$C$$ прямую, параллельную стороне $$AB$$. Тогда середины высот, опущенных из вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$, будут лежать на трёх разных прямых, параллельных сторонам треугольника. Следовательно, они не могут лежать на одной прямой.

Получили противоречие с условием задачи. Значит, наше предположение неверно, и треугольник $$ABC$$ является прямоугольным.

Ответ: $$\triangle ABC$$ — прямоугольный.