Упр.864 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна а. Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей квадрата. Проведём через $$O$$ перпендикуляры к прямым $$AC$$ и $$BC$$: $$OK \perp AC$$, $$OM \perp BC$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOK$$ и $$BOM$$. У них:

$$OA=OB$$, так как это диагонали квадрата;
$$\angle AKO=\angle BMO=90^\circ$$;
$$\angle AOK=\angle BOM$$, так как они образованы взаимно перпендикулярными прямыми.

Следовательно, $$\triangle AOK \cong \triangle BOM$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$AK=BM,\qquad OK=OM.$$

Так как $$A,K,C$$ лежат на одной прямой, а $$B,M,C$$ — на одной прямой, то

$$AC=AK+KC,\qquad BC=BM+CM.$$

Складывая, получаем

$$AC+BC=(AK+BM)+(KC+CM)=2AK+KC+CM.$$

Но из равенства $$AK=BM$$ и равенства прямоугольных треугольников следует, что отрезки $$KC$$ и $$CM$$ равны, значит

$$KC=CM=\frac{AC+BC}{2}=\frac{a}{2}.$$

Четырёхугольник $$CKOM$$ — квадрат, поэтому его диагональ $$OC$$ равна

$$OC=KC\sqrt{2}=\frac{a}{2}\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$