Упр.863 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$E$$ и $$F$$ лежат на стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, причём точка $$E$$ лежит на отрезке $$AF$$ и $$AE=BF$$. Прямая, проведённая через точку $$E$$ параллельно стороне $$AC$$, пересекает прямую, проведённую через точку $$F$$ параллельно стороне $$BC$$, в точке $$K$$. Докажите, что точка $$K$$ лежит на медиане треугольника $$ABC$$, проведённой к стороне $$AB$$.
- Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ соединяют вершины треугольника $$ABC$$ с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
Обозначим через $$M$$ середину отрезка $$EF$$. Докажем, что точка $$K$$ лежит на медиане треугольника $$ABC$$, проведённой к стороне $$AB$$.
Так как $$E\in AF$$ и $$AE=BF$$, то точки $$E$$ и $$F$$ делят отрезок $$AB$$ симметрично относительно его середины. Следовательно, середина отрезка $$EF$$ совпадает с серединой отрезка $$AB$$. Значит, точка $$M$$ — середина $$AB$$.
Проведём через $$E$$ прямую, параллельную $$AC$$, а через $$F$$ — прямую, параллельную $$BC$$. Они пересекаются в точке $$K$$. Тогда четырёхугольник $$AEKF$$ является параллелограммом, а четырёхугольник $$FBCK$$ — тоже параллелограмм, поскольку
$$EK \parallel AC,\qquad FK \parallel BC.$$
Из свойств параллелограмма получаем:
$$EK=AC,\qquad FK=BC.$$
Рассмотрим треугольники $$AEK$$ и $$FCK$$. У них
$$\angle AEK=\angle CFB$$,
так как $$AE$$ и $$BF$$ лежат на одной прямой $$AB$$, а $$EK\parallel AC$$, $$FK\parallel BC$$. Кроме того,
$$AE=BF$$
по условию. Следовательно, треугольники $$AEK$$ и $$FCK$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$AK=CK.$$
Значит, точка $$K$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$C$$, то есть лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AC$$.
Но медиана треугольника $$ABC$$, проведённая к стороне $$AB$$, проходит через середину $$M$$ отрезка $$AB$$. Так как $$M$$ — середина $$AB$$, а $$K$$ лежит на прямой, проходящей через середину соответствующего отрезка симметрично построения, то точка $$K$$ принадлежит медиане треугольника $$ABC$$, проведённой к стороне $$AB$$.
Ответ: $$K$$ лежит на медиане треугольника $$ABC$$, проведённой к стороне $$AB$$.
