Упр.861 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$ABC$$ ($$AB \ne AC$$) через середину $$M$$ стороны $$BC$$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $$A$$, которая пересекает прямые $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$D$$ и $$E$$. Рис. 269. Докажите, что $$BD = CE$$.
Диагонали трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Треугольник $$ABO$$, где $$AB$$ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков $$OA$$, $$OD$$ и $$BC$$, равносторонний.

Подробный ответ

Обозначим через $$F$$ точку пересечения прямой, проведённой через середину $$M$$ стороны $$BC$$ параллельно биссектрисе угла $$A$$, с отрезком $$AB$$. Тогда $$MF \parallel AF$$, а так как $$M$$ — середина $$BC$$, то $$BM=MC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABF$$ и $$DMB$$. У них:

$$\angle ABF=\angle DBM$$, так как лучи $$BA$$ и $$BD$$ лежат на одной прямой, а $$BF$$ и $$BM$$ — на одной прямой;
$$\angle AFB=\angle DMB$$, так как $$AF \parallel MD$$ и $$BF \parallel BM$$.

Следовательно, $$\triangle ABF \sim \triangle DMB$$. Отсюда

$$\frac{BA}{BD}=\frac{BF}{BM}.$$

Пусть $$BM=MC=d$$, $$FM=f$$. Тогда $$BF=BM-FM=d-f$$, и потому

$$\frac{BA}{BD}=\frac{d-f}{d}.$$

Значит,

$$AD=BD-BA=BD\left(1-\frac{d-f}{d}\right)=\frac{f}{d}\,BD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$MCE$$ и $$FCA$$. Они подобны, так как:

$$\angle MCE=\angle FCA$$, поскольку $$MC \parallel CB$$, а точки $$E,A,C$$ лежат на одной прямой;
$$\angle MEC=\angle FAC$$, так как $$ME \parallel AF$$.

Следовательно,

$$\frac{CE}{CA}=\frac{CM}{CF}.$$

Так как $$CM=d$$, а $$CF=CM+MF=d+f$$, то

$$\frac{CE}{CA}=\frac{d}{d+f}.$$

Тогда

$$AE=CA-CE=CA\left(1-\frac{d}{d+f}\right)=\frac{f}{d+f}\,CE.$$

Но из подобия треугольников $$ABF$$ и $$DMB$$ получаем также, что

$$\frac{BA}{BD}=\frac{BF}{BM}=\frac{d-f}{d},$$

а значит,

$$\frac{AD}{BD}=\frac{f}{d}.$$

С другой стороны, из подобия $$MCE$$ и $$FCA$$ имеем

$$\frac{AE}{CE}=\frac{f}{d}.$$