Упр.859 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Внутри прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) взята точка \(O\) так, что справедливо равенство $$S_{OAB}=S_{OAC}=S_{OBC}$$. Докажите, что справедливо равенство $$OA^2+OB^2=5OC^2$$.
2. Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Проведём через точку $$O$$ перпендикуляры к сторонам треугольника и обозначим их длины так: $$OD=p,$$ $$OE=q.$$ Пусть $$BC=a,$$ $$AC=b,$$ $$AB=c,$$ а площадь треугольника $$ABC$$ равна $$S.$$

Так как $$S_{OAB}=S_{OAC}=S_{OBC},$$ то каждая из этих площадей равна $$\frac{S}{3}.$$

Из равенства $$S_{OAC}=S_{OBC}$$ получаем:

$$\frac{1}{2}bq=\frac{1}{2}ap=\frac{S}{3}.$$

Следовательно,

$$q=\frac{a}{3}, \qquad p=\frac{b}{3}.$$

Теперь найдём отрезки на сторонах:

$$CD=q=\frac{a}{3}, \qquad BD=a-q=\frac{2a}{3},$$

$$EC=p=\frac{b}{3}, \qquad AE=b-p=\frac{2b}{3}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OBC$$ и $$OAC$$:

$$OB^2=OC^2-BD^2=OC^2-\frac{4a^2}{9},$$

$$OA^2=OC^2-CE^2=OC^2-\frac{b^2}{9}.$$

Кроме того, из прямоугольного треугольника $$AOC$$ и $$BOC$$ получаем:

$$OA^2=\frac{a^2+4b^2}{9}, \qquad OB^2=\frac{4a^2+b^2}{9}, \qquad OC^2=\frac{a^2+b^2}{9}.$$

Тогда

$$OA^2+OB^2=\frac{a^2+4b^2}{9}+\frac{4a^2+b^2}{9} =\frac{5a^2+5b^2}{9} =5\cdot \frac{a^2+b^2}{9} =5OC^2.$$

Что и требовалось доказать.