Упр.858 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$BD$$. Отрезок $$КА$$ перпендикулярен к отрезку $$АВ$$ и равен отрезку $$DC$$, отрезок $$СМ$$ перпендикулярен к отрезку $$ВС$$ и равен отрезку $$AD$$. Докажите, что отрезки $$MB$$ и $$КВ$$ равны.
- Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.
Обозначим через $$K_1$$ и $$M_1$$ точки на продолжениях прямых $$AB$$ и $$BC$$ так, что $$AK_1\perp AB$$ и $$AK_1=DC$$, $$CM_1\perp BC$$ и $$CM_1=AD$$.
Рассмотрим треугольники $$ABK_1$$ и $$CBM_1$$. Так как $$BD$$ — высота треугольника $$ABC$$, то $$BD\perp AC$$, а значит, в прямоугольных треугольниках
$$BK_1^2=AB^2+AK_1^2=AB^2+DC^2,$$
$$BM_1^2=BC^2+CM_1^2=BC^2+AD^2.$$
Кроме того, из построения следует, что точки $$K_1$$ и $$M_1$$ симметричны относительно прямой, проходящей через $$B$$ и середину отрезка $$AC$$, поэтому
$$BK_1=BM_1.$$
Теперь рассмотрим точки $$K$$ и $$M$$, для которых по условию $$AK\perp AB$$, $$AK=DC$$, $$CM\perp BC$$, $$CM=AD$$. Тогда треугольники $$ABK$$ и $$CBM$$ равны соответственно треугольникам $$ABK_1$$ и $$CBM_1$$, откуда
$$BK=BK_1,\qquad BM=BM_1.$$
Следовательно,
$$BK=BK_1=BM_1=BM.$$
Ответ: $$BK=BM$$.
