Упр.857 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Внутри прямоугольника ABCD взята точка М. Известно, что MB = а, МС = b и MD = c. Найдите длину отрезка МА. Точка М не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма ABCD. Докажите, что существуют точки N, Р и Q, расположенные так, что А, В, С и D являются соответственно серединами отрезков MN, NP, PQ и QM.

Подробный ответ

Обозначим $$MA=x$$. Проведём через точку $$M$$ прямые $$EF \parallel AD$$ и $$GH \parallel AB$$. Тогда точки $$E, F, G, H$$ лежат соответственно на сторонах $$AB, CD, BC, AD$$.

Обозначим:

$$AE=HM=FD=m,$$

$$EB=MG=FC=n,$$

$$BG=EM=AH=p,$$

$$GC=MF=HD=q.$$

Из прямоугольных треугольников получаем по теореме Пифагора:

$$a^2=n^2+p^2,$$
$$b^2=n^2+q^2,$$
$$c^2=m^2+q^2,$$
$$x^2=m^2+p^2.$$

Сложим первые и третье равенства и вычтем второе:

$$a^2+c^2-b^2=(n^2+p^2)+(m^2+q^2)-(n^2+q^2)=m^2+p^2=x^2.$$

Значит,

$$x=\sqrt{a^2-b^2+c^2}.$$

Теперь докажем второе утверждение. Построим точку $$M$$ вне параллелограмма $$ABCD$$ и не на прямых, содержащих его стороны. Пусть $$N$$ — точка, симметричная $$M$$ относительно $$A$$, $$P$$ — точка, симметричная $$N$$ относительно $$B$$, а $$Q$$ — точка, симметричная $$P$$ относительно $$C$$.

Тогда $$A$$ — середина отрезка $$MN$$, $$B$$ — середина отрезка $$NP$$, $$C$$ — середина отрезка $$PQ$$ по построению.

Остаётся доказать, что $$D$$ — середина отрезка $$QM$$. Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AD \parallel BC$$ и $$AD=BC$$. В треугольнике $$QMN$$ отрезок $$BC$$ соединяет середины сторон $$QN$$ и $$NM$$, значит, $$BC$$ — средняя линия треугольника $$QMN$$. Следовательно, $$BC \parallel QM$$ и $$BC=\frac{1}{2}QM$$.

Но $$AD \parallel BC$$ и $$AD=BC$$, значит, $$AD \parallel QM$$ и $$AD=\frac{1}{2}QM$$. Следовательно, точка $$D$$ — середина отрезка $$QM$$.

Итак, точки $$N, P, Q$$ существуют и удовлетворяют условию задачи.