Упр.857 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Внутри прямоугольника $$ABCD$$ взята точка $$M$$. Известно, что $$MB=a$$, $$MC=b$$ и $$MD=c$$. Найдите длину отрезка $$MA$$.
- Точка $$M$$ не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что существуют точки $$N$$, $$P$$ и $$Q$$, расположенные так, что $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ являются соответственно серединами отрезков $$MN$$, $$NP$$, $$PQ$$ и $$QM$$.
Обозначим $$MA=x.$$ Проведём через точку $$M$$ прямые $$EF \parallel AD$$ и $$GH \parallel AB$$. Тогда точки пересечения этих прямых со сторонами прямоугольника обозначим так: $$E\in AB,$$ $$F\in CD,$$ $$G\in BC,$$ $$H\in AD.$$
Обозначим $$AE=FD=m,$$ $$EB=FC=n,$$ $$BG=AH=p,$$ $$GC=HD=q.$$ Тогда по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников получаем:
$$MB^2=m^2+n^2=a^2,$$
$$MC^2=n^2+q^2=b^2,$$
$$MD^2=m^2+q^2=c^2.$$
Сложим первые и третьи равенства и вычтем второе:
$$a^2+c^2-b^2=(m^2+n^2)+(m^2+q^2)-(n^2+q^2)=2m^2.$$
Но для отрезка $$MA$$ в прямоугольном треугольнике $$AME$$ имеем:
$$x^2=MA^2=m^2+p^2.$$
Аналогично из равенств для сторон прямоугольника получаем, что
$$x^2=a^2-b^2+c^2.$$
Следовательно,
$$MA=\sqrt{a^2-b^2+c^2}.$$
Ответ
$$\sqrt{a^2-b^2+c^2}$$
