Упр.856 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Сторона АВ треугольника ABC продолжена за точку А на отрезок AD, равный АС. На лучах ВА и ВС взяты точки К и М так, что площади треугольников BDM и ВСК равны. Найдите угол ВКМ, если угол BAC = а. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что угол ADP = угол PDC, угол.ADP = 2/3 угол PAD и AD = BD = CD. а) Найдите все углы четырёхугольника. б) Докажите, что АВ2 = ВР x BD.

1) Так как $$S_{BDM}=S_{BCK}$$, то при общем угле $$\angle B$$ получаем:

$$BD\cdot BM=BK\cdot BC.$$

Отсюда

$$\frac{BD}{BK}=\frac{BC}{BM}.$$

Следовательно, треугольники $$\triangle BKM$$ и $$\triangle BDC$$ подобны по двум сторонам и углу между ними.

Значит,

$$\angle BKM=\angle BDC.$$

Так как точки $$A,D,C$$ лежат на одной прямой и $$AD=AC$$, то треугольник $$ADC$$ равнобедренный, а его углы при основании равны:

$$\angle ADC=\angle ACD=\frac{1}{2}\left(180^\circ-\angle DAC\right).$$

Но $$\angle DAC=\angle BAC=\alpha$$, поэтому

$$\angle ADC=\frac{1}{2}(180^\circ-\alpha).$$

Из подобия также имеем $$\angle BDC=\angle ADC$$, значит

$$\angle BKM=\frac{1}{2}(180^\circ-\alpha).$$

2) В исходном решении для второго задания:

Пусть $$\angle ADP=\alpha$$. Тогда из условия $$\angle ADP=\frac{1}{2}\angle PDC$$ получаем

$$\angle PDC=2\alpha,$$

а из условия $$\angle ADP=\frac{2}{3}\angle PAD$$ имеем

$$\angle PAD=\frac{3}{2}\alpha.$$

Так как $$AD=BD=CD$$, то точки $$A,B,C$$ лежат на окружности с центром в $$D$$ и радиусом $$AD$$.

Тогда на дуге $$AB$$ вписанный угол $$\angle BDA=\alpha$$, значит

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle BDA=\frac{\alpha}{2}.$$

На дуге $$BC$$ вписанный угол $$\angle BDC=2\alpha$$, значит

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BDC=\alpha.$$

Теперь найдём углы четырёхугольника:

$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=\alpha+\frac{3}{2}\alpha=\frac{5}{2}\alpha,$$

$$\angle D=\angle ADP+\angle PDC=\alpha+2\alpha=3\alpha,$$

$$\angle C=\angle ACB+\angle ACD=\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{2}\alpha=2\alpha,$$

$$\angle B=\angle A+\angle C=\frac{5}{2}\alpha+2\alpha=\frac{9}{2}\alpha.$$

Сумма углов четырёхугольника равна $$360^\circ$$, значит

$$\frac{5}{2}\alpha+\frac{9}{2}\alpha+2\alpha+3\alpha=360^\circ,$$

$$12\alpha=360^\circ,$$

$$\alpha=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=\frac{5}{2}\cdot 30^\circ=75^\circ,$$

$$\angle B=\frac{9}{2}\cdot 30^\circ=135^\circ,$$

$$\angle C=2\cdot 30^\circ=60^\circ,$$

$$\angle D=3\cdot 30^\circ=90^\circ.$$

3) Докажем равенство $$AB^2=BP\cdot BD$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABP$$ и $$\triangle DBA$$. Имеем:

$$\angle B$$ — общий,

$$\angle BAP=\angle BDA=\alpha=30^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABP\sim\triangle DBA$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{AB}{BD}=\frac{BP}{AB},$$

откуда

$$AB^2=BP\cdot BD.$$

Ответ

$$\angle BKM=\frac{1}{2}(180^\circ-\alpha).$$

Для четырёхугольника: $$\angle A=75^\circ,\ \angle B=135^\circ,\ \angle C=60^\circ,\ \angle D=90^\circ.$$

$$AB^2=BP\cdot BD.$$