Упр.854 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая, проходящая через вершину $$C$$ параллелограмма $$ABCD$$, пересекает прямые $$AB$$ и $$AD$$ в точках $$K$$ и $$M$$. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников $$KBC$$ и $$CDM$$ равны соответственно $$S_1$$ и $$S_2$$.
2. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ из середины $$D$$ основания $$AC$$ проведён перпендикуляр $$DH$$ к стороне $$BC$$. Пусть $$M$$ — середина отрезка $$DH$$. Докажите, что $$BM$$ перпендикулярен $$AH$$.

Обозначим через $$k$$ коэффициент подобия треугольников $$\triangle AMK$$ и $$\triangle DMC$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB \parallel CD$$ и $$AD \parallel BC$$. Поэтому

$$\angle AMK=\angle DMC$$ — вертикальные углы,

$$\angle AKM=\angle DCM$$ — накрест лежащие углы.

Следовательно, $$\triangle AMK \sim \triangle DMC$$, и

$$k=\frac{AM}{MD}=\frac{AK}{DC}.$$

Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{AMK}}{S_{DMC}}=k^2,$$

то есть

$$S_{AMK}=k^2S_2.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle AMK$$ и $$\triangle KBC$$. Так как $$AM \parallel BC$$, то

$$\angle AKM=\angle KCB,$$

а угол при вершине $$K$$ общий по направлению сторон, значит $$\triangle AMK \sim \triangle KBC$$.

Из подобия получаем

$$\frac{AK}{KB}=\frac{AM}{BC}.$$

Но $$AK=AB+BK$$, а в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Поэтому

$$\frac{AK}{KB}=\frac{KA}{KA+AB}=\frac{1}{1+\frac{AB}{KA}}=\frac{1}{1+\frac{1}{k}}=\frac{k}{k+1}.$$

Следовательно,

$$\frac{S_{AMK}}{S_{KBC}}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^2,$$

то есть

$$S_{AMK}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^2S_1.$$

Приравняем два выражения для $$S_{AMK}$$:

$$k^2S_2=\left(\frac{k}{k+1}\right)^2S_1.$$

Сокращая на $$k^2$$, получаем

$$S_2=\frac{S_1}{(k+1)^2},$$

откуда

$$k+1=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}},$$

$$k=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}-1.$$

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников $$KBC$$ и $$CDM$$ без общей части $$AMK$$:

$$S_{ABCD}=S_1+S_2-S_{AMK}.$$

Подставим $$S_{AMK}=k^2S_2$$ и найденное значение $$k$$:

$$S_{ABCD}=S_1+S_2-\left(\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}-1\right)^2S_2.$$

Раскроем скобки:

$$S_{ABCD}=S_1+S_2-\left(\frac{S_1}{S_2}-2\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}+1\right)S_2$$

$$S_{ABCD}=S_1+S_2-S_1+2\sqrt{S_1S_2}-S_2=2\sqrt{S_1S_2}.$$

Ответ

$$S_{ABCD}=2\sqrt{S_1S_2}.$$