Упр.854 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD, пересекает прямые АВ и AD в точках К и М. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников КВС и CDM равны соответственно S1 и S2. В равнобедренном треугольнике ABC из середины D основания АС проведён перпендикуляр DH к стороне ВС. Пусть М — середина отрезка DH. Докажите, что ВМ перпендикулярен АН.
Обозначим $$\angle AMK=\angle DMC$$ как вертикальные углы. Так как $$AB \parallel CD$$, а прямая $$AD$$ — секущая, то $$\angle KAM=\angle CDM$$ как накрест лежащие.
Следовательно, $$\triangle AMK \sim \triangle DMC$$ по двум углам. Тогда
$$\frac{AM}{MD}=\frac{AK}{DC}=k,$$
и отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{AMK}}{S_{DMC}}=k^2,$$
то есть
$$S_{AMK}=k^2\cdot S_2.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$AMK$$ и $$KBC$$. Так как $$AM \parallel BC$$, то $$\triangle AMK \sim \triangle KBC$$. Для них
$$\frac{KA}{KB}=\frac{KA}{KA+AB}=\frac{1}{1+\frac{AB}{KA}}=\frac{1}{1+\frac{1}{k}}=\frac{k}{k+1}.$$
Значит,
$$\frac{S_{AMK}}{S_{KBC}}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^2,$$
то есть
$$S_{AMK}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^2\cdot S_1.$$
Приравняем два выражения для $$S_{AMK}$$:
$$k^2\cdot S_2=\left(\frac{k}{k+1}\right)^2\cdot S_1.$$
Отсюда
$$ (k+1)^2=\frac{S_1}{S_2}, \qquad k+1=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}, $$
значит
$$k=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}-1.$$
Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников $$KBC$$ и $$CDM$$ без площади $$AMK$$:
$$S_{ABCD}=S_1+S_2-S_{AMK}.$$
Подставим $$S_{AMK}=k^2S_2$$:
$$S_{ABCD}=S_1+S_2-\left(\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}-1\right)^2S_2.$$
Раскроем скобки:
$$ S_{ABCD}=S_1+S_2-\left(\frac{S_1}{S_2}-2\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}+1\right)S_2 $$
$$ S_{ABCD}=S_1+S_2-S_1+2\sqrt{S_1S_2}-S_2=2\sqrt{S_1S_2}. $$
Ответ
$$S_{ABCD}=2\sqrt{S_1S_2}.$$
