Упр.853 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А до сторон угла равны а и b. Найдите расстояние от точки А до вершины угла. Из точки М внутренней области угла АОВ проведены перпендикуляры МР и MQ к его сторонам ОА и ОB. Из точек Р и Q проведены перпендикуляры PR и QS соответственно к ОB и ОА. Докажите, что RSперпендикулярнаОМ.

Подробный ответ

Обозначим расстояния от точки $$A$$ до сторон угла через $$a$$ и $$b$$. Пусть стороны угла равны $$l_1$$ и $$l_2$$, а вершина угла — точка $$O$$. Проведём из точки $$A$$ перпендикуляры к сторонам угла и рассмотрим получившийся треугольник с вершиной в $$O$$.

Так как угол равен $$60^\circ$$, то угол между перпендикулярами к его сторонам равен тоже $$60^\circ$$. Следовательно, в треугольнике, образованном точкой $$A$$ и основаниями этих перпендикуляров, можно использовать теорему косинусов.

Пусть $$R$$ — расстояние от точки $$A$$ до вершины угла $$O$$. Тогда по теореме косинусов:

$$ R^2=a^2+b^2-2ab\cos 60^\circ $$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12$$, получаем:

$$ R^2=a^2+b^2-ab $$

Значит, расстояние от точки $$A$$ до вершины угла равно

$$ AO=\sqrt{a^2+b^2-ab}. $$

Теперь докажем, что $$RS \perp OM$$.

Рассмотрим точки пересечения прямых: пусть $$D=OA\cap QM$$, $$E=AB\cap PM$$, а $$C=RS\cap OM$$. Тогда из условий $$MP\perp OA$$, $$MQ\perp OB$$, $$PR\perp OB$$, $$QS\perp OA$$ следует, что соответствующие углы в треугольниках $$OPE$$ и $$OQD$$ равны $$90^\circ$$, а также общий угол при вершине $$O$$ одинаков.

Следовательно, треугольники $$OPE$$ и $$OQD$$ подобны, откуда

$$ \frac{OP}{OQ}=\frac{PE}{QD}=\frac{OE}{OD}. $$

Аналогично, треугольники $$OSQ$$ и $$ORP$$ подобны, поэтому

$$ \frac{OS}{OR}=\frac{SQ}{RP}=\frac{OQ}{OP}. $$

Из этих равенств получаем

$$ \frac{OP}{OQ}=\frac{OE}{OD}=\frac{OR}{OS}. $$

Значит, по признаку подобия треугольников $$\triangle OSR \sim \triangle ODE$$, откуда следует, что $$SR \parallel DE$$.

Остаётся показать, что $$DE \perp OM$$. Для этого рассмотрим треугольники $$QDE$$ и $$FDM$$, где $$F=OM\cap DE$$. Из равенства соответствующих углов этих треугольников получаем их подобие, а значит, угол между прямой $$DE$$ и прямой $$OM$$ равен $$90^\circ$$. Следовательно,

$$ DE \perp OM. $$

Так как $$SR \parallel DE$$, то из перпендикулярности $$DE$$ и $$OM$$ следует, что

$$ RS \perp OM. $$