Упр.853 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка $$A$$ лежит внутри угла, равного $$60^\circ$$. Расстояния от точки $$A$$ до сторон угла равны $$a$$ и $$b$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до вершины угла.
- Из точки $$M$$ внутренней области угла $$AOB$$ проведены перпендикуляры $$MP$$ и $$MQ$$ к его сторонам $$OA$$ и $$OB$$. Из точек $$P$$ и $$Q$$ проведены перпендикуляры $$PR$$ и $$QS$$ соответственно к $$OB$$ и $$OA$$. Докажите, что $$RS \perp OM$$.
Пусть стороны угла пересекают окружность с центром в точке $$C$$, а точки касания с окружностью обозначим через $$K$$ и $$M$$. Тогда $$CK \perp$$ одной стороне угла, $$CM \perp$$ другой, поэтому
$$CK=a,\qquad CM=b.$$
Так как угол между сторонами равен $$60^\circ$$, то центральный угол
$$\angle KCM=2\cdot 60^\circ=120^\circ.$$
Треугольник $$KCM$$ равнобедренный, так как $$CK=CM$$. Проведём высоту $$CH$$ к основанию $$KM$$. В равнобедренном треугольнике она является также медианой и биссектрисой, значит,
$$KH=\frac{KM}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$KCH$$ имеем
$$\angle KCH=60^\circ,\qquad CK=R,$$
где $$R$$ — радиус окружности. Тогда
$$KH=CK\sin 60^\circ=R\cdot \frac{\sqrt3}{2},$$
следовательно,
$$KM=2KH=R\sqrt3.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$KAM$$. Его стороны равны
$$KA=a,\qquad AM=b,\qquad KM=R\sqrt3,$$
а угол между сторонами $$KA$$ и $$AM$$ равен
$$\angle KAM=180^\circ-2\cdot 60^\circ=120^\circ.$$
По теореме косинусов:
$$(R\sqrt3)^2=a^2+b^2-2ab\cos 120^\circ$$
$$3R^2=a^2+b^2-2ab\cdot\left(-\frac12\right)=a^2+b^2+ab.$$
Отсюда
$$R=\sqrt{\frac{a^2+b^2+ab}{3}}.$$
Так как искомое расстояние от точки $$A$$ до вершины угла равно диаметру окружности, то
$$AO=2R=2\sqrt{\frac{a^2+b^2+ab}{3}}.$$
Ответ: $$AO=2\sqrt{\frac{a^2+b^2+ab}{3}}.$$
