Упр.852 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Середины $$K$$ и $$M$$ сторон $$AB$$ и $$DC$$ выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ соединены отрезками $$KD$$, $$KC$$, $$MA$$ и $$MB$$ соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам $$AD$$ и $$BC$$.
2. В треугольнике $$ABC$$ угол $$A=\frac{180^\circ}{7}$$ и угол $$B=\frac{360^\circ}{7}$$. Докажите, что $$\frac{1}{BC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}$$.

Обозначим $$AB=x,\quad AC=y,\quad BC=z.$$

По условию

$$\angle A=\frac{180^\circ}{7},\qquad \angle B=\frac{360^\circ}{7}.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-\left(\frac{180^\circ}{7}+\frac{360^\circ}{7}\right)=\frac{720^\circ}{7}.$$

Проведём биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$, пусть они пересекаются в точке $$E$$. Тогда в треугольнике $$BEC$$

$$\angle EBC=\angle ECB=\frac{360^\circ}{7},$$

значит, $$EB=EC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$BDC$$. У них

$$\angle ACB=\angle BDC=\frac{720^\circ}{7},$$

а также

$$\angle ABC=\frac{360^\circ}{7}=\angle BCD.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle BDC$$. Отсюда

$$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CD}.$$

Из подобия получаем

$$AB\cdot BC=AC\cdot BD,\qquad AC\cdot BC=AB\cdot CD.$$

Так как $$BD=BC+CD,$$ то

$$AB\cdot BC=AC(BC+CD)=AC\cdot BC+AC\cdot CD.$$

С другой стороны, из $$AC\cdot BC=AB\cdot CD$$ имеем

$$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}.$$

Подставим это в предыдущее равенство:

$$AB\cdot BC=AC\cdot BC+AC\cdot \frac{AC\cdot BC}{AB}.$$

Разделим на $$BC$$:

$$AB=AC+\frac{AC^2}{AB}.$$

Умножим на $$AB$$:

$$AB^2=AB\cdot AC+AC^2.$$

Тогда

$$AB^2-AC^2=AB\cdot AC,$$

и, следовательно,

$$BC=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}.$$

Действительно, проверим:

$$\frac{1}{BC}=\frac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}.$$

Ответ: $$\frac{1}{BC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}.$$