Упр.851 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника. Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна а.

Подробный ответ

Обозначим через $$a$$ длину каждой из трёх равных частей стороны, на которой лежат точки $$A, G, H, D$$, и через $$b$$ — длину каждой из трёх равных частей противоположной стороны, на которой лежат точки $$B, E, F, C$$.

Тогда площадь всего четырёхугольника можно представить как сумму площадей трёх частей по одну сторону от отрезков и трёх частей по другую сторону:

$$ S_{ABCD}=(S_{ABG}+S_{GEH}+S_{HFD})+(S_{BEG}+S_{EFH}+S_{FCD}). $$

Поскольку все треугольники с вершиной на одной стороне имеют одинаковую высоту к другой стороне, получаем:

$$ S_{ABCD}=\frac{a}{2}(DB_1+DE_1+DF_1)+\frac{b}{2}(KG_1+KH_1+KD_1). $$

Так как $$BE=EF=FC$$, то соответствующие отрезки на параллельной прямой равны, и потому

$$ DB_1+DE_1+DF_1=(DE_1-d_1)+DE_1+(DE_1+d_1)=3DE_1. $$

Аналогично из подобия соответствующих треугольников получаем

$$ KG_1+KH_1+KD_1=3KH_1. $$

Следовательно,

$$ S_{ABCD}=\frac{3}{2}\,(a\cdot DE_1+b\cdot KH_1). $$

Площадь части четырёхугольника, заключённой между отрезками, равна сумме площадей двух средних частей:

$$ S_{EFHG}=S_{GEH}+S_{EFH}=\frac{a}{2}DE_1+\frac{b}{2}KH_1 =\frac{1}{2}(a\cdot DE_1+b\cdot KH_1). $$