Упр.851 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.
- Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна $$a$$.
Пусть $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, а отрезки делят стороны $$AB$$ и $$CD$$ на три равные части. Обозначим точки деления так, что $$BE=EF=FC$$ и $$AG=GH=HD$$.
Проведём через точки $$E$$ и $$F$$ отрезки, образующие среднюю часть четырёхугольника $$EFHG$$.
Обозначим $$AG=GH=HD=a$$, $$BE=EF=FC=b$$. Тогда площадь всего четырёхугольника можно представить как сумму трёх частей:
$$S_{ABCD}=S_{ABG}+S_{GEH}+S_{HFD}+S_{BEG}+S_{EFH}+S_{FCD}.$$
Так как треугольники с одинаковыми основаниями и общей высотой имеют площади, пропорциональные основаниям, то
$$S_{ABG}+S_{GEH}+S_{HFD}=\frac{a}{2}\,(DB_1+DE_1+DF_1),$$
$$S_{BEG}+S_{EFH}+S_{FCD}=\frac{b}{2}\,(KG_1+KH_1+KD_1).$$
Поскольку $$BE=EF=FC$$, то соответствующие отрезки на одной прямой равны, и потому
$$DB_1+DE_1+DF_1=3DE_1.$$
Аналогично из подобия получаем
$$KG_1+KH_1+KD_1=3KH_1.$$
Тогда
$$S_{ABCD}=\frac{3}{2}\,(a\cdot DE_1+b\cdot KH_1).$$
Площадь средней части равна
$$S_{EFHG}=S_{GEH}+S_{EFH}=\frac{a}{2}\,DE_1+\frac{b}{2}\,KH_1 =\frac{1}{2}\,(a\cdot DE_1+b\cdot KH_1).$$
Следовательно,
$$\frac{S_{EFHG}}{S_{ABCD}}= \frac{\frac{1}{2}\,(a\cdot DE_1+b\cdot KH_1)}{\frac{3}{2}\,(a\cdot DE_1+b\cdot KH_1)}=\frac{1}{3}.$$
Значит,
$$S_{EFHG}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.$$
Ответ: $$S_{EFHG}=\frac{1}{3}S_{ABCD}$$.
