Упр.850 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Сторона $$AB$$ параллелограмма $$ABCD$$ продолжена за точку $$B$$ на отрезок $$BE$$, а сторона $$AD$$ продолжена за точку $$D$$ на отрезок $$DK$$. Прямые $$ED$$ и $$KB$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что площади четырёхугольников $$ABOD$$ и $$CEOK$$ равны.
Точки $$E$$ и $$F$$ лежат на стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, причём точка $$E$$ лежит на отрезке $$AF$$ и $$AE=BF$$. Прямая, проведённая через точку $$E$$ параллельно стороне $$AC$$, пересекает прямую, проведённую через точку $$F$$ параллельно стороне $$BC$$, в точке $$K$$. Докажите, что точка $$K$$ лежит на медиане треугольника $$ABC$$, проведённой к стороне $$AB$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$F$$ точку пересечения прямых $$BC$$ и $$DE$$, а через $$G$$ — точку пересечения прямых $$KB$$ и $$DC$$.

Тогда

$$S_{ABOD}=S_{ABD}+S_{BOD}=\frac12S_{ABCD}+S_{BOD}$$

$$S_{CEOK}=S_{CED}-S_{OGD}+S_{CGK}=\frac12S_{ABCD}+S_{CGK}-S_{OGD}.$$

Кроме того,

$$S_{BOD}=S_{BOG}-S_{OGD},$$

$$S_{CGK}=S_{CDK}-S_{DGK}.$$

Следовательно, достаточно доказать, что $$S_{BOG}=S_{CGK}.$$

Но треугольники $$BDK$$ и $$CDK$$ имеют общее основание $$DK$$ и равные высоты, так как точки $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой, параллельной $$DK$$. Значит,

$$S_{BDK}=S_{CDK}.$$

При этом

$$S_{BDK}=S_{BOG}+S_{DGK},$$

$$S_{CDK}=S_{CGK}+S_{DGK}.$$

Из равенства площадей получаем

$$S_{BOG}=S_{CGK}.$$

Тогда

$$S_{ABOD}=S_{CEOK}.$$