Упр.85 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Угол $$\angle HK$$ равен $$120^\circ$$, а угол $$\angle HM$$ равен $$150^\circ$$. Найдите угол $$\angle KM$$. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.
2. Докажите, что если биссектрисы углов $$\angle ABC$$ и $$\angle CBD$$ перпендикулярны, то точки $$A$$, $$B$$ и $$D$$ лежат на одной прямой.

1) Найдём $$\angle km$$.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Если луч $$hk$$ лежит внутри угла $$m h$$, то

   $$\angle hm=\angle hk+\angle km.$$

   Тогда

   $$\angle km=\angle hm-\angle hk=150^\circ-120^\circ=30^\circ.$$

2. Если лучи $$hk$$ и $$hm$$ расположены по разные стороны от луча $$h$$, то

   $$\angle mk=\angle mh+\angle hk.$$

   Следовательно,

   $$\angle km=120^\circ+150^\circ=270^\circ.$$

2) Докажем, что точки $$A$$, $$B$$ и $$D$$ лежат на одной прямой.

Пусть $$\angle EBN=90^\circ$$, $$BE$$ — биссектриса угла $$CBD$$, а $$BN$$ — биссектриса угла $$ABC$$.

Обозначим $$\angle EBC=x$$. Тогда, так как $$BE$$ — биссектриса угла $$CBD$$, имеем

$$\angle EBD=\angle EBC=x,$$

а поскольку $$\angle EBN=90^\circ$$, то

$$\angle CBN=90^\circ-x.$$

Так как $$BN$$ — биссектриса угла $$ABC$$, то

$$\angle ABN=\angle NBC=90^\circ-x,$$

следовательно,

$$\angle ABC=2(90^\circ-x).$$

Аналогично, из того что $$BE$$ — биссектриса угла $$CBD$$, получаем

$$\angle CBD=2x.$$

Тогда

$$\angle ABD=\angle ABC+\angle CBD =2(90^\circ-x)+2x =180^\circ.$$

Значит, угол $$ABD$$ развернутый, поэтому точки $$A$$, $$B$$ и $$D$$ лежат на одной прямой.

Ответ

$$30^\circ; \ 270^\circ.$$ Точки $$A$$, $$B$$ и $$D$$ лежат на одной прямой.