Упр.85 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150°. Найдите угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж. Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.
Обозначим $$\angle hk$$ и $$\angle hm$$ как углы с общей стороной $$h$$.
а) Если луч $$hk$$ лежит внутри угла $$m h$$, то
$$\angle hm=\angle hk+\angle km.$$
Тогда
$$\angle km=\angle hm-\angle hk=150^\circ-120^\circ=30^\circ.$$
б) Если лучи $$hk$$ и $$hm$$ расположены по разные стороны от стороны $$h$$, то они образуют угол $$km$$, равный сумме данных углов:
$$\angle km=\angle hk+\angle hm=120^\circ+150^\circ=270^\circ.$$
Значит, возможны два случая: $$\angle km=30^\circ$$ или $$\angle km=270^\circ$$.
Докажем, что если биссектрисы углов $$ABC$$ и $$CBD$$ перпендикулярны, то точки $$A, B, D$$ лежат на одной прямой.
Пусть $$\angle EBN=90^\circ$$, где $$BE$$ — биссектриса угла $$CBD$$, а $$BN$$ — биссектриса угла $$ABC$$.
Обозначим $$\angle EBC=x$$. Тогда, так как $$BE$$ — биссектриса угла $$CBD$$, имеем
$$\angle EBD=\angle EBC=x,$$
а из перпендикулярности биссектрис следует
$$\angle EBN=90^\circ.$$
Поскольку $$BN$$ — биссектриса угла $$ABC$$, то
$$\angle ABN=\angle NBC=90^\circ-x.$$
Тогда
$$\angle ABC=\angle ABN+\angle NBC=2(90^\circ-x).$$
Аналогично
$$\angle CBD=2x.$$
Следовательно,
$$\angle ABD=\angle ABC+\angle CBD=2(90^\circ-x)+2x=180^\circ.$$
Если $$\angle ABD=180^\circ$$, то точки $$A, B, D$$ лежат на одной прямой.
Ответ
$$\angle km=30^\circ$$ или $$270^\circ$$; точки $$A, B, D$$ лежат на одной прямой.
