Упр.849 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая, проходящая через середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$, пересекает стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$M$$ и $$K$$. Докажите, что площади треугольников $$DCM$$ и $$AKB$$ равны.
2. Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.

Обозначим через $$E$$ середину диагонали $$AC$$, а через $$F$$ — середину диагонали $$BD$$. По условию прямая $$EF$$ пересекает стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$M$$ и $$K$$ соответственно.

Рассмотрим треугольники $$AMK$$ и $$CMK$$. Так как точки $$E$$ и $$F$$ — середины диагоналей, то в четырёхугольнике $$AMCK$$ отрезок $$EF$$ проходит через середины двух его диагоналей, а значит, делит его на части с равными высотами к общей прямой $$MK$$.

Тогда

$$S_{AMK}=S_{CMK}.$$

Аналогично, для четырёхугольника $$BMKD$$ получаем

$$S_{BMK}=S_{DMK}.$$

Сложим эти равенства:

$$S_{AMK}+S_{BMK}=S_{CMK}+S_{DMK}.$$

Но

$$S_{AMK}+S_{BMK}=S_{ABK},$$

$$S_{CMK}+S_{DMK}=S_{DCM}.$$

Следовательно,

$$S_{ABK}=S_{DCM}.$$

Ответ: $$S_{DCM}=S_{AKB}.$$